Lös ekvation med naturlig logaritm

emm22 skrev:

Lös ekvationen

$\ln 5x=2$

$$\begin{gathered} Facit: \\ {e}^{\ln 5x}= e^2 \\ 5x=e^2 \\ x=\frac{e^2}{5} \end{gathered}$$

Förstår inte riktigt hur 2 kan bli $e^2$ i första steget, borde det inte vara $e^{\ln 2}$?

Hur kan $e^{\ln }$ försvinna i det andra steget, samtidigt som HL inte förändras?

Jag antar att du är bekväm med att man kan addera någonting med någonting, bara man gör samma sak på både vänstersidan som högersidan. Eller för den delen multiplicera både VL och HL med någonting, bara man multiplicerar båda med samma sak.

Samma princip gäller i det här dallet, fast istället tar man nu e upphöjt till uttrycket på vänster sida respektibe e upphöjt till uttrycket på höger sida.

I VL står det ln 5x, och därför blir det e^(ln 5x). I HL står det 2, och därför blir det e^2. Inget ln dyker magiskt upp i vänsterledet, och därför gör det inte det i högerledet heller. Det vi gör nu är att vi ändrar både VL och HL, men i och med att vi ändrar dem på samma sätt är det okej att göra när vi jobbar med ekvationer.

Att e^ln försvinner i VL beror på att att e^(ln 5x)=5x. Vi ändrar då, till skillnad från tidigare, inte på värdet för VL - vi förenklar enbart uttrycket. Därför ändras inte HL.

Varför det går att förenklar VL bygger på definitionen för ln och e. Naturliga logaritmen ln x är en funktion som intuitivt skulle kunna beskrivas som att det hittar det tal som e ska upphöjas till för att det ska bli x.

Lite mer matematiskt gäller att y = ln x <=> x = e^y. Om man med substitutionen sätter in det andra uttrycket i det första får man y = ln(e^y), vilket visar varför det går att förenkla uttrycket som vi gör.