Lös ekvationen (logaritmer) (Matematik/Matte 2/Algebra)

renv skrev:
Uppgift 2454 d)

Försökt med logaritmlagarna med det går inget vidare. Problemet för mig är att lg(x) står enskilt på ena sidan av likhetstecknet.

Alternativ 1: Använd logaritmlagen $lg(a^b)=b\cdot lg(a)$ i högerledet.

Alternativ 2: Ta $10^{VL}=10^{HL}$ och använd potenslag $a^{b\cdot c}=(a^b)^c$ i högerledet. Välj då b och c smart så blir det lätt.

Yngve skrev:
renv skrev:
Uppgift 2454 d)

Försökt med logaritmlagarna med det går inget vidare. Problemet för mig är att lg(x) står enskilt på ena sidan av likhetstecknet.
Alternativ 1: Använd logaritmlagen $lg(a^b)=b\cdot lg(a)$ i högerledet.
Alternativ 2: Ta $10^{VL}=10^{HL}$ och använd potenslag $a^{b\cdot c}=(a^b)^c$ i högerledet. Välj då b och c smart så blir det lätt.

De här logaritmlagarna har jag i min bok. Finns den logaritmlagen med där eller är det så att man ska göra någon härledning?

Jag löste uppgiften med dina logaritmlagar. Undrar dock framför allt om den logaritmlag du hänvisade till överst finns med i boken. Den andra lagen kan man ju härleda genom potenslagarna.

Den står där i din bok, men den står som $l g A^{y} = y * l g A$ , men använder man parenteser så står det $l g (A^{y}) = y * l g (A)$ . Så exempelvis gäller $l g (81) = l g (3^{4}) = 4 * l g (3)$ (här är alltså A=3, y=4).

Moffen skrev:
Den står där i din bok, men den står som $l g A^{y} = y * l g A$ , men använder man parenteser så står det $l g (A^{y}) = y * l g (A)$ . Så exempelvis gäller $l g (81) = l g (3^{4}) = 4 * l g (3)$ (här är alltså A=3, y=4).

Nu noterar jag det. Tack! Kan du göra ett exempel på den räknelagen också? Det vill säga 10^VL=10^HL och använd potenslag a^b⋅c=(a^b)^c.

Tack till Yngve också!

Ett exempel på utnyttjandet av potenslag a^(bc) = (a^b)^c

Sjutton oxå jag får inte till det med formaleditorn,

nåväl

10^(2*lg(3)) = (10^lg(3))^2 = 3^2 = 9

Så här långt har jag kommit. Svaret blir 9. Lite tveksam om min metod med den formel som utnyttjar potenslagarna:

a^b*c =(a^b)^c.

Jag får det inte rätt om jag enbart tar: $10^{2 * l g 3} u \tan p a r e n t e s e r n a b e h ö v s, d e t v i l l s ä g a {(10^{2})}^{l g 3} . F o r m e \ln a n g e r a^{b * c} . H a r d e n " o s y n l i g a p a r e n t e s e r " ?$

renv skrev:
Så här långt har jag kommit. Svaret blir 9. Lite tveksam om min metod med den formel som utnyttjar potenslagarna:
a^b*c =(a^b)^c.

Jag får det inte rätt om jag enbart tar: $10^{2 * l g 3} u \tan p a r e n t e s e r n a b e h ö v s, d e t v i l l s ä g a {(10^{2})}^{l g 3} . F o r m e \ln a n g e r a^{b * c} . H a r d e n " o s y n l i g a p a r e n t e s e r " ?$

Jag förstår inte riktigt dina tankegångar.

Gör så här:

Metod 1:

$lg(x)=3\cdot lg(2)$

Använd logaritmlag $lg(a^b)=b\cdot lg(a)$ i HL:

$lg(x)=lg(2^3)$

Beräkna $2^3$ :

$lg(x)=lg(8)$

$x=8$

Metod 2:

$lg(x)=3\cdot lg(2)$

Ta $10^{VL}=10^{HL}$ :

$10^{lg(x)}=10^{3\cdot lg(2)}$

Byt ordning på faktorerna i högerledets exponent:

$10^{lg(x)}=10^{lg(2)\cdot3}$

Använd potenslag $a^{b\cdot c}=(a^b)^c$ i HL:

$10^{lg(x)}=(10^{lg(2)})^3$

Använd identiteten $10^{lg(a)}=a$ i både VL och HL:

$x=2^3$

Yngve skrev:
renv skrev:
Så här långt har jag kommit. Svaret blir 9. Lite tveksam om min metod med den formel som utnyttjar potenslagarna:
a^b*c =(a^b)^c.

Jag får det inte rätt om jag enbart tar: $10^{2 * l g 3} u \tan p a r e n t e s e r n a b e h ö v s, d e t v i l l s ä g a {(10^{2})}^{l g 3} . F o r m e \ln a n g e r a^{b * c} . H a r d e n " o s y n l i g a p a r e n t e s e r " ?$

Jag förstår inte riktigt dina tankegångar.
Gör så här:
Metod 1:
$lg(x)=3\cdot lg(2)$
Använd logaritmlag $lg(a^b)=b\cdot lg(a)$ i HL:
$lg(x)=lg(2^3)$
Beräkna $2^3$ :
$lg(x)=lg(8)$
$x=8$
Metod 2:
$lg(x)=3\cdot lg(2)$
Ta $10^{VL}=10^{HL}$ :
$10^{lg(x)}=10^{3\cdot lg(2)}$
Byt ordning på faktorerna i högerledets exponent:
$10^{lg(x)}=10^{lg(2)\cdot3}$
Använd potenslag $a^{b\cdot c}=(a^b)^c$ i HL:
$10^{lg(x)}=(10^{lg(2)})^3$
Använd identiteten $10^{lg(a)}=a$ i både VL och HL:
$x=2^3$

2³ = 8. Det är den lösningen jag ger med första metoden, det vill säga lgA^y = y * lgA.

Lösningen med andra metoden är både dåligt underbyggd och ger fel svar. :P, så det kan gå :)...

Börjar förstå det du gör i metod 2, är bara lite svårare för mig med den metoden. Men jag ser att du använder logaritmlagarna och får basen 2 med exponenten 3, vilket blir 2³ = 8.

Använder identiteten: 10^lg(a) = a. Vilket i detta fall blir: 10^lg2= 2. Och då vi detta upphöjt till 3, så blir svaret x = 2³ = 8.

Testar lösningen för x = 8:

8 = 3 * lg(2).

renv skrev:

[...]

Testar lösningen för x = 8:
8 = 3 * lg(2).

Nej, ekvationen är lg(x) = 3*lg(2), så om du ska testa att x = 8 stämmer så ska du istället verifiera att lg(8) = 3*lg(2).

Yngve skrev:
renv skrev:
[...]
Testar lösningen för x = 8:
8 = 3 * lg(2).
Nej, ekvationen är lg(x) = 3*lg(2), så om du ska testa att x = 8 stämmer så ska du istället verifiera att lg(8) = 3*lg(2).

Ja, det går undan i matte. Det är var ett slarvfel. Självklart är ekvationen lg(x) = 3* lg(2), och stoppar man in x=8 i ekvationen så är lösningen lg(8) = 3 * lg(2).

Tack för all hjälp.