Lös ekvationen och bestäm x

Nej, det ska bli -4x³ till höger så du kan inte stryka.

Men med lite vana ser man att med x-1 till vänster och x²-1 till höger så lönar det sig att faktorisera x²-1 med konjugatregeln i stället för att multiplicera ut parenteserna först.

Här är ett fel du gör, har inte kollat resten.

Jag skulle istället

1. samla alla termer på ena sidan av likhetstecknet
2. faktorisera
3. använda nollproduktmetoden.

Vid faktoriseringen skulle jag använda konjugatregeln på $x^2-1$.

Så långt kommer jag

Nytt försök : 

Nej din faktorisering är inte rätt.

Enligt konjugatregeln så är $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så ekvationen blir då

$x^2(x-1)^2-2x(x-1)^2(x+1)^2=0$

Om du tycker att det är svårt med alla parenteser så kan du tillfälligt kalla x-1 för A och x+1 för B.

Ekvationen blir då

$x^2\cdot A^2-2x\cdot A^2\cdot B^2=0$

Faktorisera nu vänsterledet och använd nollproduktmetoden.

Behåll A och B så länge det går.

Hur får du ekvationen x^2*A-2x*A*B=0?

Jag får det till något annat 

solskenet skrev:

Hur får du ekvationen x^2*A-2x*A*B=0?

Jag får det till något annat 

Jag skrev fel först, har korrigerat nu.

$(x^2-1)^2=((x-1)(x+1))^2=$

$=(x-1)^2(x+1)^2$

Med $A = x-1$ och $B = x+1$ blir det $A^2\cdot B^2$, inte $2A\cdot2B$.

Så blir det 

Bra början, men det blir lite fel på ett ställe där du gör om en summa till en produkt:

• Tips 1: Behåll A och B så länge det går.
• Tips 2: Du kan även bryta ut den gemensamma faktorn x.

Du har ekvationen

$x^2\cdot A^2-2x\cdot A^2\cdot B^2=0$

Bryt ut de gemensamma faktorerna $x$ och $A^2$:

$x\cdot A^2(x-2\cdot B^2)=0$

Nollproduktmetoden ger nu följande ekvationer:

• $x=0$
• $A^2=0$
• $x-2\cdot B^2=0$

Lös dessa tre ekvationer så får du fram ursprungsekvationens alla lösningar

Ganska rörig ekvationen. Men jag har några frågor. 

• Varför kallas du A för (x-1) och B för (x+1)? 
• Hur kommer du fram till de tre ekvationerna som är x=0 , A2=0 och  x-2*B^2=0? 

Ta inte för stora beräkningssteg i huvudet, skriv ut alla steg. Det ska vara ett plustecken här, inte ett minustecken.

Jag kallar x-1 för A och x+1 för B dels för att det ska vara enklare att se hur uttrycket kan faktoriseras, dels för att minska risken att råka skriva fel.

Dr tre ekvationerna kommer från nollproduktmetoden, som säger att om en produkt $C\cdot D$ är lika med 0 så måste antingen $C$, $D$ eller både $C$ och $D$ vara lika med 0.

Är det rätt hittills? 

Nej, faktoriseringen på sista raden är inte rätt. Varför behåller du inte A och B?

Känns helt fel...

Ja, jag förstår inte alls hur du gör följande övergång. Den stämmer inte.

Men du behöver inte faktorisera mer.

Du har redan en prydlig ekvation som ser ut så här:

$x\cdot A^2\cdot (x-2B^2)=0$

Vänsterledet är en produkt av de tre faktorerna $x$, $A^2$ och $(x-2B^2)$.

För att denna produkt ska kunna ha värdet 0 så måste åtminstone en av faktorerna ha värdet 0. Detta kallas nollproduktmetoden och den innebär att ekvationen har följande möjliga lösningar:

• $x=0$
• $A^2=0$, dvs $(x-1)^2=0$
• $x-2B^2=0$, dvs $x-2(x+1)^2=0$

Lös dessa tre ekvationer så hittar du alla möjliga värden på $x$ som löser ursprungsekvationen.

De första två ekvationerna har du löst korrekt och då fått fram rötterna $x_1=0$ och $x_1=x_2=1$.

Men sen förstår jag inte hur du kommer fram till att den tredje ekvationen har lösningen $x=2$.

Ekvationen lyder $x-2B^2=0$

För att lösa den byter vi först tillbaka från $B$ till $(x+1)$ och vi får då

$x-2(x+1)^2=0$

Vi kan inte använda nollproduktmetoden här eftersom vänsterledet är en subtraktion mellan två termer och inte en produkt av två faktorer.

Vi får helt enkelt utveckla kvadraten och lösa ekvationen på sedvanligt sätt (kvadratkomplettering eller pq):

$x-2(x^2+2x+1)=0$

Kan du fortsätta själv härifrån?

Så här blev det : 

Du tappar bort ett minustecken på andra raden.

Det kanske är enklare om du börjar med att bara multiplicera in tvåan i parentesen:

$x-(2x^2+4x+2)=0$

Ta sedan bort parenteserna:

$x-2x^2-4x-2=0$

Jag får att x3  blir odefinierat. 

Ja nu ser det bra ut.

Den sista ekvationen saknar reella lösningar (men den här två komplexa lösningar).

$-0.75\pm \sqrt{\left(0.4375i^2\right)}$

x1= -0.75+$\sqrt{0.4375i^2}$

x2=-0.75-$\sqrt{0.4375i^2}$

Ja det stämmer, men jag rekommenderar att du skriver de komplexa lösningarna så här:

$x=-\frac{3}{4}\pm\sqrt{(\frac{3}{4})^2-1}$

$x=-\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}-\frac{16}{16}}$

$x=-\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{-7}{16}}$

$x=-\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{-7}}{4}$

$x=-\frac{3}{4}\pm\frac{i\sqrt{7}}{4}$

$x=-\frac{1}{4}(3\pm i\sqrt{7})$

$x_1=-\frac{1}{4}(3-i\sqrt{7})$

$x_2=-\frac{1}{4}(3+i\sqrt{7})$