15 svar
490 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 12 feb 2019

Lös ekvationen x^3-64=0 för x i C

Jag ska lösa ekvationen x3 - 64 = 0  för x  .

Jag skulle kunna börja med att flytta över 64 till HL.

Då får jag x3 = 64 och jag skulle vilja svara att x=4 eftersom 4 · 4 · 4 = 64,

men det är inte rätt svar och jag måste ha missuppfattat vad det är som ska göras här.

”för x i ”, vad menas med det?

Laguna 5106
Postad: 12 feb 2019

C (med dubbla streck) är mängden av komplexa tal. 4 är en lösning men det finns två till. 

Yngve 11699 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 feb 2019 Redigerad: 12 feb 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Jag ska lösa ekvationen x3 - 64 = 0  för x  .

Jag skulle kunna börja med att flytta över 64 till HL.

Då får jag x3 = 64 och jag skulle vilja svara att x=4 eftersom 4 · 4 · 4 = 64,

men det är inte rätt svar och jag måste ha missuppfattat vad det är som ska göras här.

”för x i ”, vad menas med det?

Det betyder att du ska söka lösningar bland de komplexa talen. Då får du två lösningar till.

Du kan använda de Moivres formel.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 12 feb 2019

Tack, ja - de Moivres formel känner jag till!

Lisa Mårtensson 602
Postad: 16 feb 2019

Eftersom en rot är 4 så kan jag använda (x-4) i enlighet med faktorsatsen:

(x-k)  är en faktor till polynomet p(x) om och endast om det komplexa talet är en rot till p(x).

Jag dividerar x3-64 med  x - 4 och får x2+4x +16.

Jag gör om polynomet till andragradsekvationen x2+ 4x+16=0, flyttar 16 till HL, kvadratkompletterar och får då x2+4x+4=-16+4.

Därefter drar jag roten ur båda led så att (x+2)2=-12 blir x+2 =±-12.

Nu har jag ytterligare 2 komplexa rötter och dessa är

x2=-2+12i,  x3=-2-12i.

Men kan jag uttrycka rötterna på något annat sätt i .

Man kan väl skriva rötterna på polär form?

Finns det också fler sätt att uttrycka de komplexa lösningarna?

AlvinB 3075
Postad: 16 feb 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Eftersom en rot är 4 så kan jag använda (x-4) i enlighet med faktorsatsen:

(x-k)  är en faktor till polynomet p(x) om och endast om det komplexa talet är en rot till p(x).

Jag dividerar x3-64 med  x - 4 och får x2+4x +16.

Jag gör om polynomet till andragradsekvationen x2+ 4x+16=0, flyttar 16 till HL, kvadratkompletterar och får då x2+4x+4=-16+4.

Därefter drar jag roten ur båda led så att (x+2)2=-12 blir x+2 =±-12.

Nu har jag ytterligare 2 komplexa rötter och dessa är

x2=-2+12i,  x3=-2-12i.

Men kan jag uttrycka rötterna på något annat sätt i .

Man kan väl skriva rötterna på polär form?

Finns det också fler sätt att uttrycka de komplexa lösningarna?

 Detta tycker jag är en fullt godtagbar lösning.

Du kan ju även använda de Moivres formel, men det blir ju en helt annan metod. Om man gör på sättet som du gjort tycker inte jag det finns något behov av att använda polär form. Däremot kan det vara bra att vara bekant med hur man gör med de Moivres formel eftersom det blir enklare för ekvationer där exponenten är större.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 16 feb 2019 Redigerad: 16 feb 2019

Jag känner som sagt till de Moivres formel från Matte 4 och man kan ju läsa om den här på Mattecentrum också. Ändå förstår jag inte riktigt hur jag ska använda formeln till denna uppgift.

Sen är det så att jag undrar hur jag kan uttrycka lösningarna på olika sätt eftersom jag inte får rätt på denna uppgift på en e-problemsamling som jag jobbar med. 

Affe Jkpg 4647
Postad: 16 feb 2019 Redigerad: 16 feb 2019

När man multiplicerar tre komplexa tal, multipliceras beloppen och summeras deras vinklar.

En lösning var enkelt given i polära koordinater: 40°
Dom andra två ges av att:
40°*4120°*4240°=64(0°+120°+240°)=64(360°)=640°

Övergången från polära till komplexa tal ritas sedan enkelt som t.ex.:

tomast80 2364
Postad: 16 feb 2019

Sätt x=reivx=re^{iv}

x3=r3e3iv=64x^3=r^3e^{3iv}=64\Rightarrow

r3=64r^3=64

3v=2πn3v=2\pi n

Lisa Mårtensson 602
Postad: 17 feb 2019

Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på 0° men hur kan man veta att de komplexa talen -2±12i har vinklarna 120° och 240°?

tomast80 2364
Postad: 17 feb 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på 0° men hur kan man veta att de komplexa talen -2±12i har vinklarna 120° och 240°?

 Vad får du för värden på vv med n=1n=1 respektive n=2?

Smaragdalena 26572 – Moderator
Postad: 17 feb 2019 Redigerad: 17 feb 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på 0° men hur kan man veta att de komplexa talen -2±12i har vinklarna 120° och 240°?

 Du förväntas komma ihåg att de n stycken rötterna till ekvationen xn=zx^n=z ligger med jämna mellanrum på en cirkel med radien |z1n||z^{\frac{1}{n}}|. När du vet en av rötterna, är det "hyfsat" lätt att hitta alla de andra.

Affe Jkpg 4647
Postad: 17 feb 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Jag förstår varför det komplexa talet 4 har en vinkel på 0° men hur kan man veta att de komplexa talen -2±12i har vinklarna 120° och 240°?

 Det blir 360/3=120 grader för att få samma vinkel mellan de tre rötterna 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 17 feb 2019
tomast80 skrev:

 

 Vad får du för värden på vv med n=1n=1 respektive n=2?

När n=1 är 3v=360° och v=360°/3=120°

När n=2 är 3v=720° och v=720°/3=240°

Jag förstår även det som Affe Jkpg skriver att det ska vara samma vinkel mellan de tre rötterna.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 17 feb 2019

Till Smaragdalena svarar jag att jag kan visualisera denna cirkel där den första lösningen x=4 har en vinkel på 0° eftersom Im z = 0. Sedan ska det vara lika långt mellan alla tre lösningarna och det blir då 120°  mellan dem. Dessa båda ligger på Re z = -2 men de ligger på den imaginära axeln på den positiva delen (12) respektive den negativa delen (-12).

Lisa Mårtensson 602
Postad: 18 feb 2019

På denna form vill de ha lösningarna i problemsamlingen som jag jobbar med. Jag kunde tack vare all hjälp från er svara så här:

Lösningarna på ekvationen x3-64=0 är 4, 4(cos 2π3+i sin 2π3), 4(cos 4π3+i sin 4π3).

Svara Avbryt
Close