Lös ekvationen z^3=w

Precis! Placera ut lösningarna i en av dessa (varning för ful konst):

Alla lösningar kommer att hamna på cirkelranden, och du kommer att märka ett mönster i hur de ligger. :)

I det komplexa talplanet, och se till att det syns att de tre rötterna ligger på en cirkel.

Smaragdalena skrev:

I det komplexa talplanet, och se till att det syns att de tre rötterna ligger på en cirkel.

Har jag fått rätt när jag får $$\begin{gathered} z=1(\cos 60° + i \sin 60°) \\ v= 60° + n · 120° \\ {z}_{1 }(n=0) \to z= (\cos 60° + i \sin 60°) \to \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ {z}_{2 }(n=1) \to z=(\cos 180° + i \sin 180°) \to -1 \\ {z}_3(n=2) \to z=(\cos 300° + i \sin 300°) \to \frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{gathered}$$

tycker att de hamnar på en cirkel i det komplexa talplanet!

Nja, det ser inte riktigt rätt ut. om z = -1, kommer $z^3$ inte att ha någon imaginärdel, så det kan inte stämma. Borde det inte bli: 

$$\begin{gathered} z^3=\cos \left(60°\right)+i·\sin (60°) \\ z=\cos (20°)+i\sin (20°) \end{gathered}$$

(Plus n*120 grader)?

Smutstvätt skrev:

Nja, det ser inte riktigt rätt ut. om z = -1, kommer $z^3$ inte att ha någon imaginärdel, så det kan inte stämma. Borde det inte bli: 

$$\begin{gathered} z^3=\cos \left(60°\right)+i·\sin (60°) \\ z=\cos (20°)+i\sin (20°) \end{gathered}$$

(Plus n*120 grader)?

Men hur får jag fram vad cos 20 och sin 20 är? är 20 grader $\frac{\mathrm{\pi }}{9}$

$w=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=1\angle 60°$

När man multiplicerar tre (z*z*z) komplexa tal, multipliceras beloppen (1*1*1=1) och adderas vinklarna

$$\begin{gathered} z^3=1\angle 3\alpha \\ 3\alpha = 60°+n360°...\alpha =20°+n120°...n\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev:

$w=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=1\angle 60°$

När man multiplicerar tre (z*z*z) komplexa tal, multipliceras beloppen (1*1*1=1) och adderas vinklarna

$$\begin{gathered} z^3=1\angle 3\alpha \\ 3\alpha = 60°+n360°...\alpha =20°+n120°...n\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Då får jag alltså

z1 = cos 20 + i sin 20

z2= cos 140 + i sin 140

z3= cos 260 + i sin 260

Men hur skriver jag om dessa i formen z=a+bi? 

angelicamaja skrev:

Affe Jkpg skrev:

$w=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=1\angle 60°$

När man multiplicerar tre (z*z*z) komplexa tal, multipliceras beloppen (1*1*1=1) och adderas vinklarna

$$\begin{gathered} z^3=1\angle 3\alpha \\ 3\alpha = 60°+n360°...\alpha =20°+n120°...n\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Då får jag alltså

z1 = cos 20 + i sin 20

z2= cos 140 + i sin 140

z3= cos 260 + i sin 260

 

Men hur skriver jag om dessa i formen z=a+bi? 

Uppgiften var väl att presentera rötterna grafiskt?

Har du provat kalkylatorn för att beräkna cos() och sin()?

angelicamaja skrev:

Då får jag alltså

z1 = cos 20 + i sin 20

z2= cos 140 + i sin 140

z3= cos 260 + i sin 260

 

Men hur skriver jag om dessa i formen z=a+bi? 

Det verkar onödigt krångligt att skriva om de komplexa talen på rektangulär form.

Utnyttja istället fördelarna med polär form.

Du vet avstånden från origo (beloppen) och vinklarna mot den positiva reella axeln (argumenten).

Det räcker utmärkt för att ungefärligt pricka in de komplexa talen i det komplexa talplanet.

Se det allra första svaret från Smutstvätt.