48 svar
304 visningar
Joh_Sara är nöjd med hjälpen!
Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

lös ekvationerna

Hej, Skulle behöva hjälp med den här. Har kört fast och förstår inte riktigt. 

Massa 379
Postad: 28 okt 2020

a)

v=3x-pi/2

cos v=31/2/ 2

v=?

x=?

b)

v=2x-pi/4

sin v=1/21/2

v=?

x=?

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

jag fattar inte..

blir v i a) = 31/22=1,52=0,75?

blir v i b) = (12)1/2=0,25?

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

Hej.

Vi tar en sak i taget.

Ekvationen cos(v)=32\cos(v)=\frac{\sqrt{3}}{2} har lösningarna v=±π6+n·2πv=\pm\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi.

Vi kan dela upp detta i två grupper:

  1. v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  2. v=-π6+n·2πv=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

I vår ekvation är v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2}, vilket ger dig de två lösningsmängderna

  1. 3x-π2=π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  2. 3x-π2=-π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Lös ut xx ur de båda ekvationerna och välj det/de värden på heltalet nn som gör att xx hamnar i det önskade intervallet.

Visa dina försök och fråga om allt som är oklart.

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

jag fattar inte :( det är så svårt alltihop.. så den här uppgiften löser man med formeln ekvationen tanv=k

v=arctank+n*pi (där n är ett godtyckligt tal) 32=pi6eftersom cos är x axeln på enhetscirkeln så läser man av det i den första kvadranten? är jag på rätt spår eller helt fel?

ursäkta min fula bild men vill verkligen förstå den här enhetscirkeln. 

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

Jag förstår inte vad tan(v) har med uppgiften att göra.

Vi gör en förenkling och kallar tillfälligt 3x-π23x-\frac{\pi}{2} för vv.

Då lyder ekvationen cos(v)=32\cos(v)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Eftersom alla punkter på enhetscirkeln kan skrivas i koordinatforn som (cos(v),sin(v))(\cos(v),\sin(v)) så är ekvationens lösningar alla de värden på vinkeln vv för vilka "den första" koordinaten på enhetscirkeln har värdet 32\frac{\sqrt{3}}{2}.

Du kan direkt ur din fina enhetscirkel utläsa att två lösningar är v=π6v=\frac{\pi}{6} och v=-π6v=-\frac{\pi}{6}. Jag har markerat dessa i figuren.

Eftersom cosinus är en periodisk funktion med oerioden 2π2\pi så måste vi lägga till perioden på våra lösningar och vi får då

v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi och

v=-π6+n·2πv=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Hänger du med så långt?

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

ja nu ser jag. Hänger med på det. Men hänger inte med på hur jag löser dem. 

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

OK bra. Vad mer exakt är det du inte hänger med på?

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

hur jag löser ut x. 

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

Det är inget magiskt, bara vanlig ekvationslösning. Vi tar en i taget:

v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Eftersom v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2} så får vi

3x-π2=π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi

Addera π2\frac{\pi}{2} till båda sidor:

3x=π6+π2+n·2π3x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi

Förenkla HL:

3x=2π3+n·2π3x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi

Dividera båda sidor med 3:

x=2π9+n·2π3x=\frac{2\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}

Hängde du med?

Kan du göra samma sak med den andra ekvationen?

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

hängde med på allt förutom de två sista stegen...  hur blir det 2π3?

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

är det att vi ska få MGN där och multiplicerar ihop det så det blir 8pi/24 /8 = 1pi/3? men då hänger jag inte med på att det blir 2pi/3 

Joh_Sara 317
Postad: 28 okt 2020

blir inte den andra ekvationen samma?

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020
Joh_Sara skrev:

hängde med på allt förutom de två sista stegen...  hur blir det 2π3?

Högerledet:

π6+π2+n·2π\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi

Förläng andra termen med 3:

π6+3π6+n·2π\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}+n\cdot2\pi

Sätt de båda första termerna på gemensamt bråkstreck:

π+3π6+n·2π\frac{\pi+3\pi}{6}+n\cdot2\pi

Förenkla:

4π6+n·2π\frac{4\pi}{6}+n\cdot2\pi

Förkorta första termen med 2:

2π3+n·2π\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi

Joh_Sara 317
Postad: 29 okt 2020

hmmm känner mig lite vilse här: men vi hade x=2π9+n*2π3och sen blev det 2π3+n*2π för att vi dividerade 3 ?

Nej titta igenom detta svar igen.

Joh_Sara 317
Postad: 29 okt 2020

jag får inte riktigt ihop detta :( 

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 29 okt 2020 Redigerad: 29 okt 2020

Vilket/vilka av följande steg är det du fastnar på?

  1. Ekvationen är cos(3x-π2)=32\cos(3x-\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. För att förenkla ekvationen inför vi tillfälligt variabeln v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2}
  3. Ekvationen kan då skrivas cos(v)=32\cos(v)=\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Den ekvationen har de två lösningsmängderna v=π6+n·2πv=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi och v=-π6+n·2πv=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  5. Vi tittar nu endast  på den första lösningsmängden. Den andra kan senare hanteras på motsvarande sätt.
  6. Eftersom v=3x-π2v=3x-\frac{\pi}{2} så kan den första lösningsmängden skrivas 3x-π2=π6+n·2π3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
  7. Om vi adderar π2\frac{\pi}{2} till bägge sidor får vi 3x=π6+π2+n·2π3x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi
  8. Vi förlänger andra termen i högerledet med 3 och får då 3x=π6+3π6+n·2π3x=\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}+n\cdot2\pi
  9. De båda första termerna i högerledet har nu samma nämnare och vi kan därför sätta dem på gemensamt bråkstreck.
  10. Ekvationen blir då 3x=π+3π6+n·2π3x=\frac{\pi+3\pi}{6}+n\cdot2\pi
  11. Efter förenkling blir ekvationen 3x=4π6+n·2π3x=\frac{4\pi}{6}+n\cdot2\pi
  12. Vi förkortar första termen i högerledet med 2 och ekvationen blir då 3x=2π3+n·2π3x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi
  13. Nu dividerar vi bägge sidor med 3 och får då x=2π9+n·2π3x=\frac{2\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}
Joh_Sara 317
Postad: 30 okt 2020

okej jag tror jag är med. Har testräknat och det känns ok. 

i ekvation 2 blir det då:

3x-π2=-π6+n*2π3x=-π6+π2+n*2πHL blir: förlänger andra termen med 3 -π6+3π6+n*2π-π+3π6+n*2π2π6+n*2π förkortar med 2 i första termenπ3+n*2π3x=π3+n*2π förkortar med 3x=π9+n*2π3

Stämmer det?

 Ja det stämmer. Bra!

Nästa steg är att se vilken/vilka av alla dessa lösningar som hamnar inom det tillåtna intervalmet.

Pröva med några olika värden på konstanten nn.

Vusa dina resultat.

Joh_Sara 317
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020

har testat att räkna uppgift b)

sin(2x-π4)=12först ska vi finna sin för 12 12förlänger med 2 och får 22 som är 45° = π42x-π4=±π4+n*2π2x=π+π4+n*2π = 2π4+n*2π2x=2π4 förkorta med 2  båda sidorx=π4+n*2π/2och π-π4+n*2π =04+n*2π2x=04 förkorta med 2x=0+n*2π/2

Joh_Sara 317
Postad: 30 okt 2020

asså jag fattar  inte riktigt men förösker såhär-

Ekvation (1) 2π9+2πn3n(1) = (2π*39*3+2πn*93*9=6π+18π27=24π27

jag fattar att jag ska sätta in värden på n men förstår inte ritkgit hur jag sak räkna. 

Laguna 11625
Postad: 30 okt 2020
Joh_Sara skrev:

asså jag fattar  inte riktigt men förösker såhär-

Ekvation (1) 2π9+2πn3n(1) = (2π*39*3+2πn*93*9=6π+18π27=24π27

jag fattar att jag ska sätta in värden på n men förstår inte ritkgit hur jag sak räkna. 

Du behöver inte använda 27 som nämnare, 9 går bra. Men det är rätt i alla fall, så frågan är om 24π/2724\pi/27 är mindre än π\pi.

Joh_Sara 317
Postad: 30 okt 2020

okej, nej det blir större än 3,14. Det blir 8,37. Hur ska mjag tänka och vad blir svaret? blir förvirrad.. Jag natar att jag ska ta reda på alla värden för n där svaret blir större än 0 men mindre än pi. ??

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020

Du ska hitta alla värden på xx som ligger i intervallet 0xπ0\leq x\leq\pi.

Vi börjar med första lösningsmängden, dvs x=2π9+n·2π3x=\frac{2\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}.

  • Om n=-1n=-1 får vi då x=2π9-1·2π3=2π9-6π9=-4π9x=\frac{2\pi}{9}-1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}-\frac{6\pi}{9}=-\frac{4\pi}{9}. Det är utanför intervallet.
  • Om n=0n=0 får vi då x=2π9+0·2π3=2π9x=\frac{2\pi}{9}+0\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=1n=1 får vi då x=2π9+1·2π3=2π9+6π9=8π9x=\frac{2\pi}{9}+1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}=\frac{8\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=2n=2 får vi då x=2π9+2·2π3=2π9+12π9=14π9x=\frac{2\pi}{9}+2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{9}+\frac{12\pi}{9}=\frac{14\pi}{9}. Det är utanför intervallet.

======

Nu tar vi den andra lösningsmängden, dvs x=π9+n·2π3x=\frac{\pi}{9}+n\cdot\frac{2\pi}{3}.

  • Om n=-1n=-1 får vi då x=π9-1·2π3=π9-6π9=-5π9x=\frac{\pi}{9}-1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}-\frac{6\pi}{9}=-\frac{5\pi}{9}. Det är utanför intervallet.
  • Om n=0n=0 får vi då x=π9+0·2π3=π9x=\frac{\pi}{9}+0\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=1n=1 får vi då x=π9+1·2π3=π9+6π9=7π9x=\frac{\pi}{9}+1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}. Det är inuti intervallet.
  • Om n=2n=2 får vi då x=π9+2·2π3=π9+12π9=13π9x=\frac{\pi}{9}+2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{12\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}. Det är utanför intervallet.

========

Om vi räknar ihop det så hittar vi 4 lösningar inom intervallet, nämligen x=π9x=\frac{\pi}{9}, x=2π9x=\frac{2\pi}{9}, x=7π9x=\frac{7\pi}{9}, x=8π9x=\frac{8\pi}{9}.

Visa hur du räknade när du fick fram att 24π27\frac{24\pi}{27} är större än π\pi. Du multiplicerar ju π\pi med ett tal som är lite mindre än 1.

Joh_Sara 317
Postad: 30 okt 2020

okej tack!

så i uppgift b) blir det såhär då;

x=π4+n*2π2n=-1 ger x=π4-1*2π2=π4-4π4=-3π4 Inte i intervalletn=0 ger x= π4+0*2π2=π4 ja ligger i intervalletn=1 ger =π4+1*2π2=π4+4π4=5π4 nej ligger inte i intervalletn=2 ger x=π4+2*2π2=π4+4π4=5π4 nej ligger inte i intervallet

sen blir jag lite osäker om jag räknat uppgift b rätt. Den finns lite längre upp i denna tråd om du skulle vilja kika på den?

för nästa lösningsmängd är x=0+n*2π/2

hansa 11
Postad: 30 okt 2020

Behöver inte bli så krångligt. Kan vara lättare att skissa cos och sin i ett diagram. Då ser man att i intervallet

har cos bara värdet 3/2 för argumentet π/6. D v s 3x-π/2=π/6 som ger x=2π/9

Sin däremot har värdet 1/2 för både argumentet π/4 och 3π/4, så man får ekvationerna

2x-π/4=π/4 som ger x=π/4 och

2x-π/4=3π/4 som ger x=π/2

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020
Joh_Sara skrev:

har testat att räkna uppgift b)

sin(2x-π4)=12först ska vi finna sin för 12 12förlänger med 2 och får 22 som är 45° = π42x-π4=±π4+n*2π2x=π+π4+n*2π = 2π4+n*2π2x=2π4 förkorta med 2  båda sidorx=π4+n*2π/2och π-π4+n*2π =04+n*2π2x=04 förkorta med 2x=0+n*2π/2

Nej det här stämmer inte.

Du blandar nog ihop lösningarna till cosinus- och sinusekvationer.

Ekvationen sin(v)=12\sin(v)=\frac{1}{\sqrt{2}} har lösningarna v=π4+n·2πv=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi och v=π-π4+n·2πv=\pi-\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi, inte v=±π4+n·2πv=\pm\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi som du har skrivit.

Kolla enhetscirkeln!

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020
hansa skrev:

Behöver inte bli så krångligt. Kan vara lättare att skissa cos och sin i ett diagram. Då ser man att i intervallet

har cos bara värdet 3/2 för argumentet π/6. D v s 3x-π/2=π/6 som ger x=2π/9

...

Nej det resonemanget håller inte. Det är xx som ska ligga i intervallet, inte 3x-π23x-\frac{\pi}{2}.

Samma sak gäller för b-uppgiften.

Jag tycker det underlättar väldigt mycket att veta att orden cosinus och sinus är i alfabetisk ordning, precis som x och y.

Joh_Sara 317
Postad: 31 okt 2020

okej så mina svar 

x=π4+n*2πx=04+n*2πÄr dem fel?

Antar att det fortfarande handlar om fråga a.Det är inte rätt svar på den fråga som ställts i uppgiften. Man vill bara ha de svar som ligger mellan 0 och π\pi inklusive ändpunkterna. Vilka av dina svar ligger i rätt intervall?

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 31 okt 2020 Redigerad: 31 okt 2020
Joh_Sara skrev:

okej så mina svar 

x=π4+n*2πx=04+n*2πÄr dem fel?

Ja det är fel för uppgift b).

Läs detta svar igen.

Joh_Sara 317
Postad: 31 okt 2020 Redigerad: 31 okt 2020

okej så det är inte lösningsmängd för uppgift b?

 lösningsmängd: π4+n*2π-π4+n*2π

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 31 okt 2020 Redigerad: 31 okt 2020

Nej det är inte rätt lösningsmängder.

Ta ett steg i taget och använd enhetscirkeln!

Steg 1: Förenkla ekvationen genom att införa en ny obekant v=2x-π4v=2x-\frac{\pi}{4}

Steg 2: Använd enhetscirkeln för att hitta ekvationens två lösningar i intervallet 0v<2π0\leq v<2\pi.

Steg 3: Använd vetskapen att sinusfunktionen har perioden 2π2\pi för att skriva alla lösningar vv.

Steg 4: Ersätt vv med 2x-π42x-\frac{\pi}{4} och lös ut xx i de båda lösningsmängderna.

Steg 5: Välj ut det/de värden på konstanten nn som ger de värden på xx som ligger i det önskade intervallet.

Det är alltså samma tillvägagångssätt som på a-uppgiften.

Visa alla dina resonemangs- och beräkmingssteg detaljerat.

Joh_Sara 317
Postad: 3 nov 2020

Jag förstår inte riktigt nu. Om jag löser (sin2x-π4)=12så får jag

12*22=22=45°=π4

 

eller är det att jag får

22=45 som är π4och -22=315 som är 7π4 i enhetscirkeln är det där som sin -22 finns.

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 3 nov 2020 Redigerad: 3 nov 2020

Det blir lite fel när du förlänger med 2\sqrt{2}.

Det gäller att 12=22·12=22\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Sen blandar du ihop vinklar med sinusvärden.

Det gäller inte att 22=π4\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}.

Däremot gäller att ekvationen sin(v)=22\sin(v)=\frac{\sqrt{2}}{2} har lösningarna

v=π4+n·2πv=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi och

v=π-π4+n·2πv=\pi-\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi

Är du med på det?

Du kan läsa av detta direkt i enhetscirkeln:

Joh_Sara 317
Postad: 3 nov 2020

nej känns inte som det.

Ok jag har kompletterat mitt senaste svar med en bild av var lösningarna återfinns i enhetscirkeln. Blir det klarare då eller är det något som du vill fp förtydligat?

Joh_Sara 317
Postad: 4 nov 2020 Redigerad: 4 nov 2020

hmm okej så lösningsmängden är då: 

π4+n*2π3π4+n*2π

?

då får jag isf ekvationerna:

1) 2x-π4=π4+n*2π=2x=π4+π4+n*2π=2x=2π4+n*2π=x=2π8+n*2π22)2x-π4=3π4+n*2π=2x=3π4+π4+n*2π=x=3π8+n*2π2

Är detta rätt såhär långt?

Yngve 18406 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 4 nov 2020 Redigerad: 4 nov 2020

1) är rätt och uttrycket kan förenklas.

2) är rätt förutom att du har missat att addera termerna 3π4\frac{3\pi}{4} och π4\frac{\pi}{4} med varandra i högerledet. Sedan kan uttrycket förenklas.

Joh_Sara 317
Postad: 4 nov 2020

ja skrev fel det ska va x=4π8+n*2π

förenklat då menar du att det ska se ut såhär:

x=π4+n*2πx=π2+n*2π

Ja nästan. Du glömmer att dividera n·2πn\cdot2\pi med 2.

Joh_Sara 317
Postad: 5 nov 2020

ja okej men om jag ska testa detta nu då för vilka x. för ekvation nr 1:

n=-1: π4-1+n*2π2=π4-4π4=-3π4

n=0= π4+0*2π2=π4

n=1=π4+1*2π2=π4+4π4=5π4

n=2π4+2*2π2=π4+8π4=9π4

men jag får bara att för n=0 så är det inuti intervallet men inget av dem andra. stämmer det?

Ja det stämmer.

Hittar du någon lösning inom önskat intervall från den andra lösnimgsmängden?

Joh_Sara 317
Postad: 6 nov 2020

n=-1=x=π2+n*2π2 = π2-1*2π2=-π2 n=0=x=π2+n*2π2=π2+0*2π2=π2n=1=x=π2+n*2π2=π2+2π2=3π2n=2=x=π2+n*2π2=π2+4π2=5π2

det är bara π2 och π4som ligger i intervallet. Men måste jag inte ha samma nämnare? det var det på den andra uppgiften?

Ja det stämmer.

Nej du måste inte ha samma nämnare på lösningarna.

Joh_Sara 317
Postad: 6 nov 2020

okej. Tack så jättemycket för all hjälp! :)

Svara Avbryt
Close