Lös fjärdegradsekvationen. En rot är rent imaginär
Hej! Jag gör följande uppgift
Jag vet att den rent imaginära rotens konjugat också är rot, och jag utför en polynomdivision på dessa. Jag får fram en andragradsekvation (vilken utgör de andra två rötterna). Jag får också ut en rest som jag vet ska bli noll. Här fastnar jag, hur löser jag vidare?
Jag har två olika försök, varav försöket ovanför strecket är mitt första, och försöket under linjen är detsamma, men jag har faktoriernat ut z^2)
Hej!
Jag skulle gissa mig fram till en rot innan polynomdivision, men vi har ju ledningen att en rot är rent imaginärt.
Vi testar roten ai.
In i ekv:
(ai)4+6(ai)3+13(ai)2+18(ai)+30=0 ger två stycken ekvationer ty realdel och imaginärdel ska både bli noll.
Re: a4-13a2+30=0
Im: -6a3+18a=0 => -a2+3=0 => a=(+-)sqrt(3).
Vi ser att talet z1=sqrt(3)i uppfyller ekvationen, vilket gör att talet z2=-sqrt(3)i också uppfyller ekvationen.
Detta ger att man kan dividera med (z-z1)(z-z2)=z2+3.
Sätt z = ai och lös ekvationen med avseende på a.
