Lös följande uppgift med hjälp av derivering (Matematik/Matte 3/Derivata)

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du tänkt själv? Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem. Dessutom är det mycket lättare att ge dig rätt hjälp när vi vet hur långt du har kommit.

Välkommen till Pluggakuten!

Börja med att derivera funktionen. Visa vad du får.
Sedan gäller det att visa att derivatan aldrig blir negativ. Kan du det? Förstår du varför?

Jag tänker att jag får 3x^2/3+x+3 Men jag kanske är helt fel ute. Men sen tar det stopp för förstår inte hur jag visar att derivatan aldrig blir negativ.

mandaizs skrev :
Jag tänker att jag får 3x^2/3+x+3 Men jag kanske är helt fel ute. Men sen tar det stopp för förstår inte hur jag visar att derivatan aldrig blir negativ.

Du missade en liten detalj i deriveringen.

Derivatan blir g'(x) = 3x^2/3 + 2x + 3 = x^2 + 2x + 3.

Det du sedan ska visa är att $g'(x)\geq 0$ för alla x.

Det enklaste sättet att visa det är att kvadratkomplettera uttrycket för g'(x) och visa att detta uttryck alltid är större än 0.

Alternativa metoder är att lösa ekvationen g'(x) = 0 och resonera kring om vertex är en min- eller maxpunkt eller att rita grafen till g'(x).

Ett tredje fjärde sätt är att derivera g'(x) så du får g''(x)=2x+2
Sätt andraderivatan g''(x) till noll och lös för x:
2x+2=0
x=-1
Vilket innebär att g'(x) kommer ha sitt minimum vid x=-1. (hur vet du att det är min och inte max? det förutsätter jag att du vet hur man bestämmer)
Så g'(x) är som minst vid x=-1 dvs g'(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=2
Alltså är g'(x) aldrig mindre än 3 och därmed alltid större än 0.

Men kvadratkompletering är snyggare. Om du inte kan det; lär dig det.

joculator skrev :
Ett tredje sätt är att derivera g'(x) så du får g''(x)=2x+2
Sätt andraderivatan g''(x) till noll och lös för x:
2x+2=0
x=-1
Vilket innebär att g'(x) kommer ha sitt minimum vid x=-1. (hur vet du att det är min och inte max? det förutsätter jag att du vet hur man bestämmer)
Så g'(x) är som minst vid x=-1 dvs g'(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=1
Alltså är g'(x) aldrig mindre än 1 och därmed alltid större än 0.
Men kvadratkompletering är snyggare. Om du inte kan det; lär dig det.

Sedär! Fyra metoder!

Pröva gärna alla för att de vilken som passar dig bäst. Fråga läraren om vilken du bör använda/undvika att använda på proven. Du vill ju inte få poängavdrag för en sådan sak.

Jag kommer fram till x^2+2x=-3 Men sen då?

mandaizs skrev :
Jag kommer fram till x^2+2x=-3 Men sen då?

Det beror på vilken metod du vill använda.

Jag visar kvadratkomplettering här så kan du pröva de andra metoderna.

Du har att $g'(x)=x^2+2x+3$

Detta kan skrivas som $g'(x)=x^2+2x+1+2$

Eftersom $x^2+2x+1=(x+1)^2$ så kan vi skriva $g'(x)=(x+1)^2+2$

Eftersom nu $(x+1)^2$ aldrig är mindre än 0 så är $g'(x)$ aldrig mindre än 2.

Okej. Svaret är alltså g´(x) aldrig mindre än 2?

Men det jag inte förstår är hur du får fram +1+2 i ekvationen?

mandaizs skrev :
Okej. Svaret är alltså g´(x) aldrig mindre än 2?
Men det jag inte förstår är hur du får fram +1+2 i ekvationen?

Hej.

Först och främst, det absolut viktigaste är att du förstår vad begreppet växande funktion innebär och hur det är kopplat till förstaderivatans vörde. Om du är osäker på detta så kan du läsa mer om det här.

När du väl är trygg med det så inser du att det räcker att visa att förstaderivatan alltid är positiv för att visa att funktiomen alltid är växande.

Så svaret ska vara: "Funktionen g(x) är växande för alla x eftersom förstaderivatan g'(x) > 0 för alla x."

Och så ska du även visa att så är fallet. Och det är precis detta som vi har gjort.

---------

Eftersom 3 = 1 + 2 så får jag fram "1 + 2" genom att skriva om 3 som 1 + 2:

g'(x) = x^2 + 2x + 3 = x^2 + 2x + 1 + 2

Tack för ditt tålamod och pedagogik. Förstår precis hur du menar. Där jag inte hänger med är varför man byter ut 3 mot 1+2..

mandaizs skrev :
Tack för ditt tålamod och pedagogik. Förstår precis hur du menar. Där jag inte hänger med är varför man byter ut 3 mot 1+2..

Det är för att jag behöver ettan (eller egentligen $1^2$ ) till att göra uttrycket $x^2+2x$ till ett kvadratiskt uttryck på formen $a^2+2ab+b^2$ , dvs en jämn kvadrat. Om jag snattar ettan till det så blir det bara två kvar av trean.