Lös integralen

... igenom att lösa ekvation. Uppgiften lyder:

"Anta att en primitiv funktion F till $f (x) = x e^{x}$ kan skrivas $F (x) = A x e^{x} + B e^{x}$ .

a) Derivera F och bestäm kontanterna.

b) när du har gjort det och ätit lite choklad, tillämpa metoden i a) på att finna en primitiv funktion till $f (x) = x^{2} e^{x}$ "

$F (x) = A x e^{x} + B e^{x} F' (x) = A e^{x} + A x e^{x} + B e^{x}$

Jag tjuvkikade i faciten efter ett tag, så A=1 och B=-1.

$F' (x) = A e^{x} + A x e^{x} + B e^{x} f (x)_{2} = n å g o t + x^{2} e^{x} + n å g o t a n n a t$

Så den första "något" måste vara $2 e^{x}$ , per ren transposition. Hur löser man den andra "något"? Eller hur löser man allt detta så att det bli snygg och rätt?

Du har att $F'(x) = Ae^x + Axe^x + Be^x$ . Du vet också att $F'(x) = f(x) = xe^x$ . För att detta skall stämma såste koeffixienterna för $xe^x$ -termen vara lika, och så måste koefficienterna för $e^x$ termarna vara lika. Alltså gäller det att A = 1 och A + B = 0.

Ah jo, det såg jag i faciten (the shame). Men fråga b) då?

Gör ungefär likadant som i a sätt att $F(x) = Ax^2e^x + Bxe^x + Ce^x$ , derivera, identifiera.

Smaragdalena skrev :
Gör ungefär likadant som i a sätt att $F(x) = Ax^2e^x + Bxe^x + Ce^x$ , derivera, identifiera.

Hur kom du på att det behövdes en ytterligare $Ce^x$ ?

Jag har testat:

$F (x) = A x^{2} e^{x} + B x e^{x} + C e^{x} F' (x) = A 2 x e^{x} + A x^{2} e^{x} + B e^{x} + B x e^{x} + C e^{x}$

A måste vara 1, och om A=1 då B måste vara -2. Om B=-2 då c=2?

$F' (x) = 1 * 2 x e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Men seriöst hur kom du på att det behövdes en C faktor!?!

Jag tänkte att om man har en funktion av första graden behövs det 2 konstanter för att beskriva den, $y(x) = kx + m$ . Om man har en andragradsfunktion behövs det tre konstanter för att beskriva den, $y(x) = ax^2 + bx + c$ . Därför borde det behövas en extra konstant att bestämma om man har en andragradsterm i funktionen jämför med en förstagradsterm. Först hade jag tänkt få dig att ansätta ett likadant polynom som i a-uppgiften och tvinga dig att konstatera att det inte fungerar, innan jag bad dig ansätta ett krångligare polynom. Tyvärr finns det inte någon spoiler-funktion på forumet - det kanske var tur för dig?

Pff Smaragdalena jag skulle ALDRIG i hela livet klura ut detta! Jo, det var tur!

Till nästa gång: kan man tänka så att $e^{x}$ beter sig som en slags död vikt, och bara resonera i termer av andra gradare = tre termer, tredje gradare = tre termer och så vidare?

Man kan alltid pröva. Funkar det så funkar det, funkar det inte får man komma på något annat. Nackdelen är att det kan ta tid.

Svara

Visa senaste svar