LÖs värde på a diff

Blev y'' helt rätt?

y'' = $-2a e^{-a{x}^2} + 4a^2{x}^2 e^{-a{x}^2}$

Precis. 

Sätt nu in dina uttryck för y, y' och y'' i diffekvationen. Vad får du?

$-2a {e^{-ax}}^2+ 4a^2{x}^2 e^{-a{x}^2} + (-2a{x}^2 e^{-a{x}^2}) + {e^{-ax}}^2$= 0

Det ser rätt ut.

Bryt ut gemensamma funktioner. Du får en ekvation på nollproduktsform. 

${e^{-ax}}^2(-2a + 4a^2{x}^2+1)$

Det går väl inte att förenkla mer? 

HUr löser jag det inuti parantesen? Ska jag betrakta det som en andragradare eller blir det bökigt?

Du har inte fått med alla x² i parentesen!

Hoppsan,

${e^{-ax}}^2( -2a + 4a^2{x}^2- 2a{x}^2+1)$= 0

Tillägg: 4 feb 2024 22:33

Ska jag faktorisera ännu mer?

Bra!

Då har du två faktorer. Minst en måste vara = 0 (för alla x) för att ansatsen ska stämma.

När blir parentesen = 0?

Vi måste få det inuti parantsen att bli 0. Men frågan är när den blir 0. Hur löser jag ut denna ekvation? Det är både a (som vi vill ha reda på) och x som är okänt.

-2a + 4a²x² - 2ax² = -1 

Men vet dock inte hur detta skulle föra mig vidare?

Du har ett andragradspolynom i parentesen.

Parentesen är bara 0 för alla x om alla koefficienter i polynomet är 0. 

Parentesen är bara 0 för alla x om alla koefficienter i polynomet är 0. 

Hur menar du?

Du vill att

$1-2a + (4a^2-2a)x^2=0$

för alla x. 

Då måste konstanttermen vara 0:

1 - 2a = 0

Linjärterm saknas, så redan = 0.

Kvadrattermen måste vara 0:

4a² - 2a = 0

Finns det något a som uppfyller dessa villkor samtidigt?

Ja, då a= 1/2.

Jag förstår dock inte varför du faktoriserade på det viset och varför x måste vara 0 (ja, nollproduktsmetoden) men är inte helt med på resonemanget nu det sista.

Diffekvationen ska vara uppfylld för alla x (i definitionsmängden), annars har vi inte rätt lösning. 

Insättning av lösningskandidat ger efter faktorisering att det är nödvändigt att a = 1/2 för att (...) = 0. Inget annat värde på a gör att (...) = 0 för alla x.

Den andra faktorn exp(-ax²) är inte 0 för något a.

Men 1-2a har inget x

Varför ska 

1-2a= 0 tas till hänsyn?

Om inte konstanttermen 1 - 2a = 0 så kan inte (...) = 0 för alla x. (För några x, men inte för alla x, vilket är ett krav.)

Ah okej då förstår jag. Tack för hjälpen!