18 svar
38 visningar
naturnatur1 är nöjd med hjälpen
naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 21:50

LÖs värde på a diff

Bestäm konstanten a så att y = e-axˆ2 blir en lösning till diff ekvationen

y'' - xy' + y = 0 


y' = -2ax e-axˆ2

y'' = -2a e-axˆ2 - 4a2xx e-axˆ2

Sedan när jag ställer upp allt får jag:

-2a e-ax2 - 4a2x2 e-ax2 - 2ax2 e-ax2 + e-ax2 = 0

Hur löser jag vad a är?

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:03

Blev y'' helt rätt?

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:17

y'' = -2a e-ax2 + 4a2x2 e-ax2

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:20

Precis. 

Sätt nu in dina uttryck för y, y' och y'' i diffekvationen. Vad får du?

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:22

-2a e-ax2+ 4a2x2 e-ax2 + (-2ax2 e-ax2) + e-ax2= 0

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:25

Det ser rätt ut.

Bryt ut gemensamma funktioner. Du får en ekvation på nollproduktsform. 

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:27

e-ax2(-2a + 4a2x2+1)

Det går väl inte att förenkla mer? 

HUr löser jag det inuti parantesen? Ska jag betrakta det som en andragradare eller blir det bökigt?

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:29

Du har inte fått med alla x2 i parentesen!

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:32

Hoppsan,

e-ax2( -2a + 4a2x2- 2ax2+1)= 0


Tillägg: 4 feb 2024 22:33

Ska jag faktorisera ännu mer?

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:34

Bra!

Då har du två faktorer. Minst en måste vara = 0 (för alla x) för att ansatsen ska stämma.

När blir parentesen = 0?

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:38

Vi måste få det inuti parantsen att bli 0. Men frågan är när den blir 0. Hur löser jag ut denna ekvation? Det är både a (som vi vill ha reda på) och x som är okänt.

-2a + 4a2x2 - 2ax2 = -1 

Men vet dock inte hur detta skulle föra mig vidare?

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:41

Du har ett andragradspolynom i parentesen.

Parentesen är bara 0 för alla x om alla koefficienter i polynomet är 0. 

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:44

Parentesen är bara 0 för alla x om alla koefficienter i polynomet är 0. 

Hur menar du?

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:48

Du vill att

1-2a+(4a2-2a)x2=01-2a + (4a^2-2a)x^2=0

för alla x. 

Då måste konstanttermen vara 0:

1 - 2a = 0

Linjärterm saknas, så redan = 0.

Kvadrattermen måste vara 0:

4a2 - 2a = 0

Finns det något a som uppfyller dessa villkor samtidigt?

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 22:53 Redigerad: 4 feb 22:53

Ja, då a= 1/2.


Jag förstår dock inte varför du faktoriserade på det viset och varför x måste vara 0 (ja, nollproduktsmetoden) men är inte helt med på resonemanget nu det sista.

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 22:58

Diffekvationen ska vara uppfylld för alla x (i definitionsmängden), annars har vi inte rätt lösning. 

Insättning av lösningskandidat ger efter faktorisering att det är nödvändigt att a = 1/2 för att (...) = 0. Inget annat värde på a gör att (...) = 0 för alla x.

Den andra faktorn exp(-ax2) är inte 0 för något a.

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 23:10

Men 1-2a har inget x

Varför ska 

1-2a= 0 tas till hänsyn?

Dr. G 9219
Postad: 4 feb 23:14

Om inte konstanttermen 1 - 2a = 0 så kan inte (...) = 0 för alla x. (För några x, men inte för alla x, vilket är ett krav.)

naturnatur1 2913
Postad: 4 feb 23:27

Ah okej då förstår jag. Tack för hjälpen!

Svara Avbryt
Close