Lösa ekvation med absolutbelopp

Hej.

Det finns bara tre varianter, eftersom |x+1| inte kan vara lika med -x-1 samtidigt som |x-1| = x-1.

Du kan dela upp definitionsmängden I tre delar: x < -1, -1 $\leq$ x < 1 och x $\geq$ 1.

Skriv om ekvationen i dessa tre fall.

Jag tycker detta är så rörigt... jag förstår att x+1 inte är samma sak som -x-1, men samtidigt kan väl inte |x-1| vara samma sak som -x+1? Det borde ju då bli endast x+1 och x-1 som funkar?

Du kan tänka så här.

Enligt definitionen av absolutbelopp så är

• $|a|=a$ då $a\geq0$
• $|a|=-a$ då $a < 0$

Det betyder att

• $|x+1|=x+1$ då $x+1\geq0$, dvs då $x\geq-1$
• $|x+1|=-(x+1)=-x-1$ då $x+1 < 0$, dvs då $x < -1$

På samma sätt gäller det att

• $|x-1|=x-1$ då $x-1\geq0$, dvs då $x\geq1$
• $|x-1|=-(x-1)=-x+1$ då $x-1 < 0$, dvs då $x < 1$

Eftersom det inte kan gälla att $x < -1$ samtidigt som $x\geq1$ så kan inte |x+1| vara lika med -x-1 samtidigt som |x-1| = x-1.

Blev det tydligare då?

Jag vet inte om jag ska vara riktigt ärlig... du säger att de inte kan ske samtidigt, men det måste väl då betyda att jag inte kan använda uttrycken -(x+1) och x-1? Då blir det endast uttrycken x+1 och -(x-1) kvar att stoppa in?

Jag menar så här:

Det finns två "brytpunkter" där uttrycken med absolutbelopp "byter skepnad", nämligen vid x = -1 och vid x = 1.

=========

Då $x < -1$ så är $|x+1|=-x-1$ och $|x-1|=-x+1$.

Ekvationen kan alltså i detta intervall skrivas

$(-x-1)-(-x+1)=1$

Går den ekvationen att lösa och ligger i såfall x i "rätt" intervall?

=========

Då $-1\leq x < 1$ så är $|x+1|=x+1$ och $|x-1|=-x+1$.

Ekvationen kan alltså i detta intervall skrivas

$(x+1)-(-x+1)=1$

Går den ekvationen att lösa och ligger i såfall x i "rätt" intervall?

==========

Då $x\geq1$ så är $|x+1|=x+1$ och $|x-1|=x-1$.

Ekvationen kan alltså i detta intervall skrivas$(x+1)-(x-1)=1$

Går den ekvationen att lösa och ligger i såfall x i "rätt" intervall?

Ok, tack då förstår jag bättre! Den första ekvationen fungerar inte alls, då x:en tar ut varandra och det blir -2. Den andra verkar fungera, då jag får 2x/2 och då 1/2! Den 3:e går väl inte alls, då x skulle vara större än eller lika med 1 och det går väl inte i |x+1| då x är större än/lika med -1?

Bra!

Det stämmer att den första ekvationen efter förenkling blir -2 = 1, vilket aldrig är sant. Det betyder att ursprungsekvationen saknar lösning då x < -1.

Den andra ekvationen har mycket riktigt lösningen x = 1/2. Eftersom denna lösning ligger i det "godkända intervallet $-1\leq x < 1$ så är detta även en lösning till utsprungsekvationen.

Den tredje ekvationen blir efter förenkling 2 = 1, vilket aldrig är sant. Det betyder att ursprungsekvationen saknar lösning då x $\geq$ -1.

========

Ekvationen går även att lösa grafiskt:

Röd graf är y = |x+1|-|x-1| och blå linje är y = 1

Ok, tack så mycket för hjälpen!