Lösa ekvationssystem med 4 okända?

chiqititaa skrev:

Hej!

Jag sitter och funderar över följande uppgift:

Betrakta vektorerna $u_1 = (1, 2, 1), u_2 = (1, a, -1), u_3 =\hspace{0.17em}(3, 5, a) där a \in R$.

Bestäm a så att vektorerna är lineärt oberoende.

 

Enligt definitionen för linjärt oberoende kan vi ställa upp ekvationen:

$s_1(1, 2, 1) + s_2(1, a, -1) + s_3(3, 5, a) \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0$

Detta kan skrivas om till ekvationssystemet

$$\begin{gathered} s_1+s_2+3s_3 =\hspace{0.17em}0 \\ 2s_1+a{s}_2+5s_3 = 0 \\ {s}_1-s_2+a{s}_3 = 0 \end{gathered}$$

Jag funderar nu på om detta ens är rätt tillvägagångssätt? Jag behöver ju få ut 2 värden på a och ser inte riktigt hur det ska kunna hända från där jag är nu. Om någon kan peka mig vidare i rätt riktning vore det tacksamt!

Varför behöver du hitta två värden på a? 🤔

Men oavsett, du har börjat bra, men jag tror att du har fått definitionen om bakfoten. Den definition du skrivit gäller för linjärt beroende vektorer. Vektorer är linjärt oberoende om det inte finns några lösningar till den ekvationen (förutom att alla $s_i=0$. 

Det betyder dock inte att du gjort fel, bara att du behöver ändra lite i din definition. Skriv om ekvationssystemet till en matris multiplicerad med vektorn s, och sätt det lika med nollvektorn. 

Titta sedan på matrisen, vad krävs av en matris för att ett ekvationssystem ska sakna (icke-triviala) lösningar? :)