Lösa en diffekvation genom att låtsas att dy/dx är ett bråk?

$$\begin{gathered} y=kx+m \\ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx} \end{gathered}$$

Man kan betrakta det som att $dy$ och $dx$ har värden som är (oändligt) mycket mindre än $\Delta y$ och $\Delta x$

Det kallas för en separabel differentialekvarion. Om man har en differentialekvation på formen

$g(y)\cdot$ $\dfrac{dy}{dx}=$ $f(x)$

kan den lösas genom att integrera vardera sida m.a.p. sin variabel:

$\displaystyle\int$ $g(y)\ dy=$ $\displaystyle\int$ $f(x)\ dx$

Här kan du läsa mer om separabla differentialekvationer:

https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/separabla-differentialekvationer

AlvinB skrev:

Det kallas för en separabel differentialekvarion. Om man har en differentialekvation på formen

$g(y)\cdot$ $\dfrac{dy}{dx}=$ $f(x)$

kan den lösas genom att integrera vardera sida m.a.p. sin variabel:

$\displaystyle\int$ $g(y)\ dy=$ $\displaystyle\int$ $f(x)\ dx$

Här kan du läsa mer om separabla differentialekvationer:

https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/separabla-differentialekvationer

 Jaha! Ok! Tack

En följdfråga här också, är y verkligen en variabel? Det verkar lite ovant för mig att integrera med avseende på y (alltså f(x)??). Nu när jag tänker på det är ju y en variabel, men som är beroende av x, ska inte kedjeregeln och allt det där komma in då?

Jag tolkade frågan som att man egentligen inte ”får” multiplicera båda leden med $dx$ eftersom $\frac {dy}{dx}$ egentligen inte är ett bråk i traditionell mening. Minns att jag hade en lärare på gymnasiet som hävdade något åt det hållet. Som det föredöme jag är lämnade jag det där och gick vidare till nästa uppgift. Ligger det någon sanning i det?

Edit: Antar att felet ligger i att $dx$ är oändligt litet, vilket innebär att det blir fel på samma sätt som det blir fel om man multiplicerar leden med $\infty$?

Teraeagle skrev:

Jag tolkade frågan som att man egentligen inte ”får” multiplicera båda leden med $dx$ eftersom $\frac {dy}{dx}$ egentligen inte är ett bråk i traditionell mening. Minns att jag hade en lärare på gymnasiet som hävdade något åt det hållet. Som det föredöme jag är lämnade jag det där och gick vidare till nästa uppgift. Ligger det någon sanning i det?

Edit: Antar att felet ligger i att $dx$ är oändligt litet, vilket innebär att det blir fel på samma sätt som det blir fel om man multiplicerar leden med $\infty$?

 Ja, det tror jag också. Men ska inte det här vara enkel matte för dig?

Vänta nu, nej. dy/dx är inte ett bråk för att det är en funktion, dy/dx=f'(x). 

Qetsiyah skrev:

Teraeagle skrev:

Jag tolkade frågan som att man egentligen inte ”får” multiplicera båda leden med $dx$ eftersom $\frac {dy}{dx}$ egentligen inte är ett bråk i traditionell mening. Minns att jag hade en lärare på gymnasiet som hävdade något åt det hållet. Som det föredöme jag är lämnade jag det där och gick vidare till nästa uppgift. Ligger det någon sanning i det?

Edit: Antar att felet ligger i att $dx$ är oändligt litet, vilket innebär att det blir fel på samma sätt som det blir fel om man multiplicerar leden med $\infty$?

 Ja, det tror jag också. Men ska inte det här vara enkel matte för dig?

Varför tror du att jag främst hänger i kemiforumet? =)

Skämt åsido, oändligheter är knepiga, till och med för matematiker. De är inte ens överens om ifall de finns på riktigt eller om det är en mänsklig konstruktion.

Teraeagle skrev:

Qetsiyah skrev:

Visa föregående citat

Teraeagle skrev:

Jag tolkade frågan som att man egentligen inte ”får” multiplicera båda leden med $dx$ eftersom $\frac {dy}{dx}$ egentligen inte är ett bråk i traditionell mening. Minns att jag hade en lärare på gymnasiet som hävdade något åt det hållet. Som det föredöme jag är lämnade jag det där och gick vidare till nästa uppgift. Ligger det någon sanning i det?

Edit: Antar att felet ligger i att $dx$ är oändligt litet, vilket innebär att det blir fel på samma sätt som det blir fel om man multiplicerar leden med $\infty$?

 Ja, det tror jag också. Men ska inte det här vara enkel matte för dig?

Varför tror du att jag främst hänger i kemiforumet? =)

Skämt åsido, oändligheter är knepiga, till och med för matematiker. De är inte ens överens om ifall de finns på riktigt eller om det är en mänsklig konstruktion.

 Ja det hade jag inte lagt märke till faktiskt. Du har ju svarat på mina mattefrågor förrut (när det va matte 1 2 3 4 och så), men nu verkar det som att jag snuddade på din gräns här kanske? Haha

Knepiga men användbara (inte för mig, än)  skulle jag säga!

Det man egentligen gör med separabla diffekvationen är att man integrerar båda led m.a.p en variabel, säg x.

$g\left(y\right)·y^{\text{'}}=f\left(x\right)$

Integrera m.a.p x

$\int g\left(y\right)·y^{\text{'}}dx=\int f\left(x\right)dx$

Enligt regeln för substitution i integraler är

$y^{\prime}dx = dy$

Nu ser det ut som att man helt sonika har delat upp dy/dx som om det vore ett bråk och sedan slängt på ett integraltecken på båda sidor.