Lösa ett ekvationsystemt med modolo

Jo, men du arbetar ju i $\mathbb{Z}_5$, så $16y^4=y^4$ (eftersom $16=1$) och $32y^2=2y^2$, o.s.v. 

AlvinB skrev:

Jo, men du arbetar ju i $\mathbb{Z}_5$, så $16y^4=y^4$ (eftersom $16=1$) och $32y^2=2y^2$, o.s.v. 

Juste ja. Så blir det. Då får jag ju $x^2=y^2+2y^2+1$

Så när de säger insättning av denna ekvation, $x^2=y^2+2y^2+1$ i första ekvationen, då gör jag om det till: 

$0=y^2+2y^2+1-x^2$ tänker jag är smartast?

sen i VL: $x^2+4+y^2+2y^2+1-x^2 = 5 + 3 y^2$

och i HL: $2y+y^2+2y^2+1-x^2 = 1-x^2+2y+3y^2$

så VL = HL ger:  $5 + 3 y^2 = 1-x^2+2y+3y^2 \Rightarrow x^2 + 4 = 2y$ 

Fel?

Hoho?

Nja. Du får ju $x^2=y^{\color{red}4}+2y^2+1$.

Jag hängde inte med på dina vidare steg, men jag tror inte att det där kommer vara fruktsamt. Poängen är ju att du skall få en ekvation som innehåller en variabel, inte två. Vi har ju konstaterat att $x^2=y^4+2y^2+1$. Ur den andra ekvationen får vi ju att $x^2=2y-4=2y+1$. Detta ger dig ju ekvationen

$y^4+2y^2+1=2y+1$

Här har vi bara en variabel ($y$), så denna ekvation är betydligt enklare att lösa. Fixar du att lösa den?

AlvinB skrev:

Nja. Du får ju $x^2=y^{\color{red}4}+2y^2+1$.

Jag hängde inte med på dina vidare steg, men jag tror inte att det där kommer vara fruktsamt. Poängen är ju att du skall få en ekvation som innehåller en variabel, inte två. Vi har ju konstaterat att $x^2=y^4+2y^2+1$. Ur den andra ekvationen får vi ju att $x^2=2y-4=2y+1$. Detta ger dig ju ekvationen

$y^4+2y^2+1=2y+1$

Här har vi bara en variabel ($y$), så denna ekvation är betydligt enklare att lösa. Fixar du att lösa den?

Ja juste. 

Men det verkar som att man ska använda kvadratkompletteringne eller pq-formeln, men sätta $t=x^2$ iallafall , man ska lösa ut $y$? 

Sedan subsitutarera in det i valfri ekvation (från ursprunget) och där få ut ett (eller flera?) värden på $x$?

Det gäller att komma ihåg att vi nu arbetar med helt andra tal ($\mathbb{Z}_5$, heltalen modulo 5) än våra gamla vanliga reella tal. PQ-formeln och kvadratkomplettering går tyvärr inte alls att använda när vi arbetar i $\mathbb{Z}_5$.

Efter att ha blivit besviken av att $\mathbb{Z}_5$ saknar PQ-formel kanske man har svårt att se hur vi kan lösa ekvationen, men då kan vi komma ihåg ett faktum som gör $\mathbb{Z}_5$ väldigt snällt att arbeta i. Det finns bara fem ynka tal! Vi kan alltså pröva alla tal i $\mathbb{Z}_5$ för att ta fram lösningarna till ekvationen. Grejar du det?

Varför fungerar inte kvadratkomplettering? Det enda problemet där är väl att vi vill dela linjärtermen med 2, men det går ju i Z_5 (i Z_2 skulle vi dock få problem). Även PQ  fungerar med lite ansträngning (i princip kvadratkomplettera och lös x^2=a^2 genom konjugatregel/integritetsområde).

AlvinB skrev:

Det gäller att komma ihåg att vi nu arbetar med helt andra tal ($\mathbb{Z}_5$, heltalen modulo 5) än våra gamla vanliga reella tal. PQ-formeln och kvadratkomplettering går tyvärr inte alls att använda när vi arbetar i $\mathbb{Z}_5$.

Efter att ha blivit besviken av att $\mathbb{Z}_5$ saknar PQ-formel kanske man har svårt att se hur vi kan lösa ekvationen, men då kan vi komma ihåg ett faktum som gör $\mathbb{Z}_5$ väldigt snällt att arbeta i. Det finns bara fem ynka tal! Vi kan alltså pröva alla tal i $\mathbb{Z}_5$ för att ta fram lösningarna till ekvationen. Grejar du det?

Iofs sant.. men tänk om vi skulle ha höga tal. tex mod 31?

JohanB skrev:

Varför fungerar inte kvadratkomplettering? Det enda problemet där är väl att vi vill dela linjärtermen med 2, men det går ju i Z_5 (i Z_2 skulle vi dock få problem). Även PQ  fungerar med lite ansträngning (i princip kvadratkomplettera och lös x^2=a^2 genom konjugatregel/integritetsområde).

Har slagit upp linjärter, kan väl tänka att det skulle kunna vara termen i $y=kx+m$ att $kx$ är linjär termen, är det, det du menar?  Isåfall, vad är min linjärterm? $2y$? :O

Ja, kx är linjärtermen. Om man vill kvadratkomplettera x^2+ax så får vi (x+a/2)^2-a^2/4. Detta fungerar även i Z_5 (vi får tolka 1/2 som 2:s multiplikativa invers, dvs lösningen till 2z=1 är vad vi menar med z=1/2). I just ditt fall så får du en fjärdegradare, så då fungerar PQ/kvadratkomplettering inte så bra pga grad. Jag var kanske lite otydlig ovan, det jag menade var att kvadratkomplettering fungerar utmärkt i Z_5 (men det betyder givetvis inte att det är en bra metod för just detta problem).

Hade du däremot haft en andragradare, t.ex. y^2+3y+2=0 så skulle du kunna angripa den med kvadratkomplettering även i Z_5.

JohanB skrev:

Ja, kx är linjärtermen. Om man vill kvadratkomplettera x^2+ax så får vi (x+a/2)^2-a^2/4. Detta fungerar även i Z_5 (vi får tolka 1/2 som 2:s multiplikativa invers, dvs lösningen till 2z=1 är vad vi menar med z=1/2). I just ditt fall så får du en fjärdegradare, så då fungerar PQ/kvadratkomplettering inte så bra pga grad. Jag var kanske lite otydlig ovan, det jag menade var att kvadratkomplettering fungerar utmärkt i Z_5 (men det betyder givetvis inte att det är en bra metod för just detta problem).

Hade du däremot haft en andragradare, t.ex. y^2+3y+2=0 så skulle du kunna angripa den med kvadratkomplettering även i Z_5.

Vad skulle kunna snabbt/enkelt visa vad som skulle kunna va bra/dålig metod? 
m.a.o, hur kunde du se det så snabbt/enkelt?=)

Jag håller egentligen med om AlvinB:s strategi, det är hans motivation jag ogillade. När vi kommit till ekvationen y^4+y^2=2y så kan man göra en del trick (faktorisera ut y etc), men det enklaste är nog som AlvinB säger, att prova alla olika potentiella rötter. Eftersom vi är i Z_5 så har vi bara talen 0,1,2,3,4 (mod 5), så det är bara att sätta in dem och testa!

JohanB skrev:

Jag håller egentligen med om AlvinB:s strategi, det är hans motivation jag ogillade. När vi kommit till ekvationen y^4+y^2=2y så kan man göra en del trick (faktorisera ut y etc), men det enklaste är nog som AlvinB säger, att prova alla olika potentiella rötter. Eftersom vi är i Z_5 så har vi bara talen 0,1,2,3,4 (mod 5), så det är bara att sätta in dem och testa!

Så när man säger testa.. Då ska jag substituera in tex. 0 först, sen räkna mod 5? 

$$f(y) = y^4+2y^2+1=2y+1 \Righarrow f(y) = y^4 + 2 y^2 - 2 y = 0$$

$$f(0) = 0^4+2 \cdot 0 + 1 = 2 \cdot  0 + 1 \Right arrow 1=1 $$ ???? men det blir ju konstigt eller?