Lösa med dif.ekvation?

"Ett bibliotek har för tillfället 120000 böcker. De kommande åren planerar biblioteket att köpa in 4000 böcker/år.
Samtidigt slits böckerna så man räknar med att 2,5% av böckerna måste kasseras. Efter hur många år inträffar det att lika många böcker som köps kasseras? Hur många böcker har biblioteket då?"

Denna uppgift ser ut att vara en klassisk uppgift för differentiallösning. Min lösning:

Antal böcker är y, efter tiden t år.

y´=4000-0,025y (4000 böcker in, 2,5% av y försvinner) ==>

y´+0,025y=4000

Homogen lösning;

${y^{´}}_{h} + 0, 025 y_{h} = 0 \Rightarrow y_{h} = C \cdot e^{- 0, 025 t}$

Partikulärlösning;

Ansätt; $y_{p} = a \Rightarrow {y^{´}}_{p} = 0$

${y^{´}}_{p} + 0, 025 y_{p} = 0 + 0, 025 a = 4000 \Rightarrow a = \frac{4000}{0, 025} = 160000 = y_{p}$

Allmän lösninng;

$y = y_{h} + y_{p} = C e^{- 0, 025 t} + 160000$

y(0)=120000 ==> C=-40000 ==>

$y = - 40000 e^{- 0, 025 t} + 16000$

Antalet böcker in är konstant 4000 böcker per år, alltså ska uttrycket för böcker ut vara lika med 4000.

$U T = 0, 025 \cdot y = 0, 025 \cdot - 40000 \cdot e^{- 0, 025 t} + 160000 = 4000 t \approx - 294 å r$

Att det tar -294 år går ju självklart inte, svaret är ca 650 år. Jag tycker inte alls den här uppgiften är särskilt svår, men vad gör jag för fel?

Sista ekvationen: $0.025 y \neq 0.025 \cdot - 40000 e^{- 0.025 t} + 160000$ .

Om det köps in lika många som kasseras måste $y' = 0 \leftrightarrow 0.025 y = 4000 \leftrightarrow y = 160000$ . Men kan y anta värdet 160000 om $y = - 40000 e^{0.025 t} + 160000$ ? Hur löser du detta?

Så jag ska derivera y och sätta y´=0 för att lösa ut t?

Svara Avbryt