4 svar
110 visningar
notsogenius behöver inte mer hjälp
notsogenius 154
Postad: 30 sep 2022 11:44

Lösa olikheter, bråk

Jag ska lösa olikheten 2x2x+2<x-2 och undrar varför det första tillvägagångssättet blir fel? 

Ser olika lösningar av olikheter då man antingen multiplicerar upp nämnaren (x+2 i detta fall) eller att man sätter bråken på samma gemensamma nämnare (andra tillvägagångssättet). Jag ser ju i det rätta sättet att jag gör (olika fall) då jag struntar i täljaren som alltid blir positiv. Men vad är det som blir fel i det första sättet att räkna? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 30 sep 2022 12:30

Om du absolut vill undvika att dela upp olikheten i olika intervall, kan du lösa ekvationen VL = HL och sedan undersöka vilken av funktionerna f (x ) = VL och f(x) = HL som ligger överst i vilken dela v grafen.

Yngve 40006 – Livehjälpare
Postad: 30 sep 2022 13:20 Redigerad: 30 sep 2022 13:22
notsogenius skrev:

Jag ska lösa olikheten 2x2x+2<x-2 och undrar varför det första tillvägagångssättet blir fel? 

...

Men vad är det som blir fel i det första sättet att räkna? 

Svar på din fråga är att du gör flera fel.

  • Först byter du riktning på olikhetstecknet utan att du motiverar varför (1 i bilden).
  • Sedan byter du tillbaka, återigen uan motivering (2 i bilden).
  • Sedan förutsätter du att x+2 < 0 endast med motiveringen att fallet x+2 > 0 inte ger några lösningar till olikheten (3 i bilden).

Du behöver motivera dina beräkningar och slutsatser mer tydligt, exempelvis så här:

  • Vi antar att x+2 > 0, dvs att x > -2. Då gäller 2x2 < (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x2 < -4. Den olikheten saknar lösning, vilket innebär att olikheten saknar lösningar då x+2 > 0.
  • Vi antar då istället aatt x+2 < 0, dvs att x < -2. Då gäller 2x2 > (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x2 > -4. Det stämmer för alla möjliga värden på x. Av dessa är det endast de x som uppfyller x < -2 som är giltiga för den olikheten.
notsogenius 154
Postad: 30 sep 2022 14:28 Redigerad: 30 sep 2022 14:38
Yngve skrev:
notsogenius skrev:

Jag ska lösa olikheten 2x2x+2<x-2 och undrar varför det första tillvägagångssättet blir fel? 

...

Men vad är det som blir fel i det första sättet att räkna? 

Svar på din fråga är att du gör flera fel.

  • Först byter du riktning på olikhetstecknet utan att du motiverar varför (1 i bilden).
  • Sedan byter du tillbaka, återigen uan motivering (2 i bilden).
  • Sedan förutsätter du att x+2 < 0 endast med motiveringen att fallet x+2 > 0 inte ger några lösningar till olikheten (3 i bilden).

Du behöver motivera dina beräkningar och slutsatser mer tydligt, exempelvis så här:

  • Vi antar att x+2 > 0, dvs att x > -2. Då gäller 2x2 < (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x2 < -4. Den olikheten saknar lösning, vilket innebär att olikheten saknar lösningar då x+2 > 0.
  • Vi antar då istället aatt x+2 < 0, dvs att x < -2. Då gäller 2x2 > (x+2)(x-2), vilket ger oss olikheten x2 > -4. Det stämmer för alla möjliga värden på x. Av dessa är det endast de x som uppfyller x < -2 som är giltiga för den olikheten.

Du antar att x+2>0 men hur kommer du fram till att 2x2<(x+2)(x-2)

Inser att om x är ett negativt tal så uppstår det ju ett fel vid multiplikationen av (x+2) då olikhetstecknet ska byta tecken. Det kan man misstänka har skett när x2<-4 inte har någon lösning. Så då kan man ju testa x2>-4 som är sant. Men hur jag sedan kommer vidare från x2>-4 till x>-2 har jag svårt att förstå matematiskt (om man bortser från hur jag gjorde i det andra sättet).

Yngve 40006 – Livehjälpare
Postad: 30 sep 2022 14:58 Redigerad: 30 sep 2022 16:18
notsogenius skrev:

Du antar att x+2>0 men hur kommer du fram till att 2x2<(x+2)(x-2)

Så här:

Olikheten lyder 2x2x+2<x-2\frac{2x^2}{x+2}<>

Till att börja med kan vi konstatera att x inte får ha värdet -2 eftersom vänsterledet då kommer att vara odefinierat. 

I fortsättningen antar vi att x \neq -2.

Vi antar att x+2 > 0, dvs att vänsterledets nämnare är ett positivt tal. Vi kan därför multiplicera hela olikheten med detta positiva tal utan att vända på olikhetstecknet och vi får då efter förenkling 2x2 < (x+2)(x-2).

Inser att om x är ett negativt tal så uppstår det ju ett fel vid multiplikationen av (x+2) då olikhetstecknet ska byta tecken.

Nej, det är om x+2 är ett negativt tal som vi behöver vända på olikhetstecknet.

Det kan man misstänka har skett när x2<-4 inte har någon lösning. Så då kan man ju testa x2>-4 som är sant. Men hur jag sedan kommer vidare från x2>-4 till x>-2 har jag svårt att förstå matematiskt (om man bortser från hur jag gjorde i det andra sättet).

Följ mitt lösningsförslag igen. Olikheten x2 > -4 är endast giltig då vänsterledets nämnare är mindre dre än 0, dvs då x+2 < 0, dvs då x < -2.

Svara
Close