Lösning till PDE på formen f(x,y)=g(x²-y).

Uppgiften lyder:

Bestäm alla lösningar på formen $f(x,y)=g(x²-y)$ till den partiella differentialekvationen $2\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial ²f}{\partial x²}+x\frac{\partial ²f}{\partial x\partial y}=0$.

Först har jag satt $t=x²-y$ och sedan försökt hitta de relevanta partiella derivationerna:

$\frac{\partial f}{\partial y}=g\text{'}\left(t\right)*t_y=-g\text{'}\left(t\right)$

$\frac{\partial f}{\partial x}=g\text{'}\left(t\right)*t_x=2xg\text{'}\left(t\right)$

$\frac{\partial ²f}{\partial x²}=2g\text{'}\left(t\right)+4x²g\text{'}\text{'}\left(t\right)$

$\frac{\partial ²f}{\partial x\partial y}=-g\text{'}\text{'}\left(t\right)*t_x=-2xg\text{'}\text{'}\left(t\right)$

Insatt i ekvationen får jag då:

$-2g\text{'}\left(t\right)+2g\text{'}\left(t\right)+4x²g\text{'}\text{'}\left(t\right)-2x²g\text{'}\text{'}\left(t\right)=0 \iff 2x²g\text{'}\text{'}\left(t\right)=0$

 

Men det känns fel och jag vet inte hur jag ska fortsätta. I min lärares föreläsning har hon ett annat exempel där där vänstersidan blir lika med noll och menar då att alla funktioner är lösningen men enligt svarsbladet så är svaret $f(x,y)=A(x²-y)+B där A,B\in \mathrm{ℝ}$. Dessutom som jag förstått borde jag i det här laget kunna substituera bort alla x och y för t men i mitt fall går ju inte det. Alltså antar jag att felet ligger i någon a de partiella derivationerna men jag kan inte reda ut var.