Lurig integral

Givet är att (1) $f(2x)=3f(x)$ och att (2)$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=1$.

Eftersom (1) gäller för alla x, gäller det också att $f(x)=f(2x)/3$

Detta betyder att $\displaystyle \dfrac{1}{3} \int_0^1 f(2x)dx=1$

Låt nu $u=2x \implies du=2dx \iff du/2=dx$, övre gräns blir 2 och nedre gräns blir 0, vi får alltså när vi utför vår sub: 

$\displaystyle \dfrac{1}{6} \int_0^2 f(u)du=1$ vi kan nu isolera integralen genom att göra oss av med konstanten så att: $\displaystyle \int_0^2 f(u)du=6$

slutligen fås: $\displaystyle \int_1^2 f(u)du + \int_0^1 f(u)du=6$

men eftersom $\displaystyle \int_0^1 f(u)du=1$ så gäller det att:

$6 - 1 = 5 = \displaystyle \int_1^2 f(u)du$