6 svar
42 visningar
parveln är nöjd med hjälpen!
parveln 146
Postad: 12 jan 2019

MacLaurin-Begränsad restterm

Försökte lösa en uppgift där man skulle ta reda på gränsvärdet då x går mot oändligheten av  uttrycket 1x1xtsin(1/t). För att göra detta tänkte jag MacLaurinutveckla sin(1/t), men här stöter jag på ett problem. Jag vet ju att då x är nära 0 kan man skriva sin(x)=x+x3B(x) där B(x) är en begränsad funktion nära 0. Om man istället skriver resttermen på lagranges form så verkar det som att resttermen kommer vara (x3)*(något begränsat) så länge tredjederivatan(i detta fall) är begränsad. Gäller detta allmänt? När jag kollar i facit står kravet x1 för att B(x) ska vara begränsad, men sinus har väl bara begränsade derivator? Nu är i och för sig absolutbeloppet av 1/t mindre än 1 i det relevanta integrationsintervallet, men hade aldrig tidigare hört talas om denna gräns och undrar därför om jag har tänkt helt fel.

parveln 146
Postad: 13 jan 2019

Kör en bump och ett tillägg. Menar att derivatorna ska vara kontinuerliga(som dock medför att de är begränsade) i en omgivning. Är detta ett tillräckligt villkor för att B(x) ska vara begränsad?

Min gissning är att ingen annan heller förstår vad det är du försöker fråga efter. Du rör ihop xx och tt på ett sätt som åtminstone inte jag hänger med på. Skriv av uppgiften ord för ord eller lätt in en bild, så finns det en chans att någon förstår. Exempelvis, har du tappat bort ett dtdt eller ett dxdx i integralen på andra raden?

parveln 146
Postad: 13 jan 2019

Ja där hade det trillat bort ett dt. Integralen var bakgrunden till min fråga, men egentligen är frågan detta:

 

När man kan skriva sin(x) som ett taylorpolynom adderat med en begränsad funktion. Om jag tänker rätt borde det fungera för alla x, men enligt facit bara då absolutbeloppet av x är mindre än 1.

 

Ytterligare förtydligande(Ej centalt för min fråga): Anledningen att jag skriver sin(x) och inte sin(t) är för att jag sedan vill ha ett taylorpolynom för sin(1/t) genom substitutionen x=1/t. 1/t går ju mot 0 då t går mot oändligheten.

Albiki 3441
Postad: 13 jan 2019 Redigerad: 13 jan 2019

Hej!

Det gäller att

    sinx=x+o(x2)\sin x = x + o(x^2)

där lilla ordo o(x2)o(x^2) betecknar en funktion sådan att

    limx0o(x2)x2=0;\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2} = 0;

hur funktionen o(x2)o(x^2) beter sig för andra x-värden sägs det inget om. Maclaurinpolynomet p(x)=xp(x) = x approximerar sinx\sin x i en liten omgivning kring x=0x=0; mer specifik information kräver att man diskuterar hur nära man vill att p(x)p(x) ska vara sinx\sin x.

Albiki 3441
Postad: 13 jan 2019

När t1 är ett stort tal är 1/t nära noll och då är sin1t=1t+o(t-2)\sin \frac{1}{t} = \frac{1}{t} + o(t^{-2}) och integralen kan skrivas 

    1x1x1dt+1x1xt·o(1t2)dt.\displaystyle\frac{1}{x}\int_{1}^{x}1\,dt + \frac{1}{x}\int_{1}^{x}t\cdot o(\frac{1}{t^2})\,dt.

Den första termen är uppenbarligen x-1x=1-1x och den andra termen resulterar i en funktion som närmar sig 00xx växer. Det sökta gränsvärdet är därför lika med 11.

parveln 146
Postad: 14 jan 2019 Redigerad: 14 jan 2019

Jo när x är stort har jag inga problem, men det fungerar alltså trots att den undre gränsen är 1? Anledningen att man kan integrera ordo är väl för att man faktoriserar ut ett tal som är en begränsning av funktionen och sedan integrerar potensfunktionen som blir kvar? Därav min fråga om begränsning. 

 

Edit: kanske ditt svar i min andra tråd svarar på frågan. Kontinuitet på slutet intervall medför ju begränsning. Men det är kommentaren från min föreläsare om att abs(x)<1 som förvirrar mig

Svara Avbryt
Close