23 svar
409 visningar
Elif Sidar är nöjd med hjälpen
Elif Sidar 56
Postad: 15 jun 19:18

Maclaurinpolynom av 8.grad

Hej , 

 

Finns det någon genväg att lösa denna uppgift utan att derivera 8 gånger?

Jag har tyvärr inte förstått  ledningen

PATENTERAMERA 2586
Postad: 15 jun 19:36

Geometrisk serie.

11-q=k=0qk, |q| < 1.

Moffen 1374
Postad: 15 jun 19:37

Hej!

Utan att veta vad övning 1.87 är så är det lite svårt. Om jag får gissa är det möjligtvis någonting med att 1+x+x2+x3+...=11-x1+x+x^2+x^3+...=\dfrac{1}{1-x} om |x|<1\vert x\vert <1.

I så fall kan du skriva att 11+x3=11--x3=1-x3+x6-...\dfrac{1}{1+x^3}=\dfrac{1}{1-\left(-x^3\right)}=1-x^3+x^6-... (om |-x3|<1\vert -x^3\vert<1). 

tomast80 Online 3593
Postad: 15 jun 20:51 Redigerad: 15 jun 20:52

Ett alternativ är att inse att:

f(x)=ddx(13·ln(1+x3))f(x)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}\cdot \ln(1+x^3))

Elif Sidar 56
Postad: 15 jun 21:12 Redigerad: 15 jun 21:13

tackar.

Jag har inte förstått hur jag kan lösa det utan att derivara 8 gånger :( 

Har kollat på många videor men hittade inte något som förklarar lättare om maclaurinpolynom och substition . De flesta av dem berättar på universitet nivå, tycker jag. Men jag vet inte om det är så 

Jag studerar matematik spealisering. Det är kanske inte så detaljerad som man lär sig på universitetet. 

Men jag har svårt att förstå det. Jag kan formeln och enkla frågor som att hitta andra graden , 4. graden... men när det gäller substition för högre grad, kan jag inte för jag inte förstått. Imorgon har jag provet. Ska bli väldigt tacksam om någon förklarar,löser uppgiften på ett enklare sätt, om ni har tid. 

Skulle bli väldigt tacksam också om ni rekomenderar  någon länk från youtube eller hemsida som förklarar och ger exempel på Maclaurinserie på min nivå. 

Tack på förhand.

Moffen 1374
Postad: 15 jun 21:31 Redigerad: 15 jun 21:31

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Elif Sidar 56
Postad: 15 jun 23:06
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

Moffen 1374
Postad: 15 jun 23:27 Redigerad: 15 jun 23:27

Då räknar du fel, och det är svårt att veta vad för fel du gör om du inte visar oss.

Efter förenkling får du alltså fx=x2-x5+x8-x11+x14-...f\left(x\right)=x^2-x^5+x^8-x^{11}+x^{14}-.... Så f0=f'0=0f\left(0\right)=f'\left(0\right)=0, men f''0=2f''\left(0\right)=2. Så där har du exempelvis en nollskild term. 

MathematicsDEF 137
Postad: 15 jun 23:49 Redigerad: 16 jun 00:05
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Elif Sidar 56
Postad: 16 jun 00:33
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Så efter att vi har hittat alla derivator gör vi så här eller hur; 

f(0)+f'(0)*× f'(0) *×^2/2! ....

 

Det som vi gjorde från början (substition) var för att glra enklare beräkningar av derivator. Med detta hittar vi derivator sedan multiplicerar vi dem med X ^n och dividersr med n! 

 

Eller hur 🙈🙈🙈

MathematicsDEF 137
Postad: 16 jun 22:44
Elif Sidar skrev:
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Så efter att vi har hittat alla derivator gör vi så här eller hur; 

f(0)+f'(0)*× f'(0) *×^2/2! ....

 

Det som vi gjorde från början (substition) var för att glra enklare beräkningar av derivator. Med detta hittar vi derivator sedan multiplicerar vi dem med X ^n och dividersr med n! 

 

Eller hur 🙈🙈🙈

Precis, vi har vårt f(x) och nu är det bara att skriva ner det polynom som vi får av Maclauren, dvs: 

n=0fn(0)n!xn , fast vi tar bara med de första 8 termerna då det är av grad 8 som efterfrågas (de flesta termerna blir ju 0 ändå).

JohanB 161 – Lärare
Postad: 16 jun 22:59
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Hur får du formellt sett tag på 1:a derivatan? Det är ju en oändlig summa du har och inte en ändlig summa.

Det är lite farligt att derivera i summan då vi egentligen byter plats på två gränsvärden (derivata-gränsvärde och oändlig summa-gränsvärdet). Ska man göra det måste man ha en motivation för det. Isåfall bör man kolla t.ex. likformig konvergens eller något annat argument för varför det är ok först.

Elif Sidar 56
Postad: 17 jun 11:39
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Så efter att vi har hittat alla derivator gör vi så här eller hur; 

f(0)+f'(0)*× f'(0) *×^2/2! ....

 

Det som vi gjorde från början (substition) var för att glra enklare beräkningar av derivator. Med detta hittar vi derivator sedan multiplicerar vi dem med X ^n och dividersr med n! 

 

Eller hur 🙈🙈🙈

Precis, vi har vårt f(x) och nu är det bara att skriva ner det polynom som vi får av Maclauren, dvs: 

n=0fn(0)n!xn , fast vi tar bara med de första 8 termerna då det är av grad 8 som efterfrågas (de flesta termerna blir ju 0 ändå).

Tack så mycket 

Elif Sidar 56
Postad: 17 jun 11:40
JohanB skrev:
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Hur får du formellt sett tag på 1:a derivatan? Det är ju en oändlig summa du har och inte en ändlig summa.

Det är lite farligt att derivera i summan då vi egentligen byter plats på två gränsvärden (derivata-gränsvärde och oändlig summa-gränsvärdet). Ska man göra det måste man ha en motivation för det. Isåfall bör man kolla t.ex. likformig konvergens eller något annat argument för varför det är ok först.

Tack så mycket 

Elif Sidar 56
Postad: 17 jun 11:41
Moffen skrev:

Då räknar du fel, och det är svårt att veta vad för fel du gör om du inte visar oss.

Efter förenkling får du alltså fx=x2-x5+x8-x11+x14-...f\left(x\right)=x^2-x^5+x^8-x^{11}+x^{14}-.... Så f0=f'0=0f\left(0\right)=f'\left(0\right)=0, men f''0=2f''\left(0\right)=2. Så där har du exempelvis en nollskild term. 

Tack så mycket 

Elif Sidar 56
Postad: 17 jun 11:41
tomast80 skrev:

Ett alternativ är att inse att:

f(x)=ddx(13·ln(1+x3))f(x)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}\cdot \ln(1+x^3))

Tack så mycket 

Elif Sidar 56
Postad: 17 jun 11:42
PATENTERAMERA skrev:

Geometrisk serie.

11-q=k=0qk, |q| < 1.

Tack så mycket

MathematicsDEF 137
Postad: 18 jun 21:48 Redigerad: 18 jun 21:51
JohanB skrev:
MathematicsDEF skrev:
Elif Sidar skrev:
Moffen skrev:

Är du med på att du kan skriva (för rimliga xx) att fx=x2·1-x3+x6-x9+x12-...=?f\left(x\right)=x^2\cdot\left(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}-...\right)=? där du själv får förenkla och ersätta frågetecknet. 

Sen är det bara att beräkna derivatorna av denna oändliga summa (du kan derivera termvis) i punkten a=0a=0 för att hitta Maclaurinpolynomet. Du kommer att märka att många av dessa är lika med noll. 

Men i slutändan, ja, du behöver derivera 88 gånger och se vad du får, men eftersom det är polynom är det enkelt och många av derivatorna är dessutom lika med noll som sagt.

Tack så mycket.  Ja, jag har förstått den delen. X^2 * ( 1-×^3+×^6...) 

Men vet inte vad jag bör göra efter det.  när jag beräknar derivatorna av summar, blir alla 0. :( 

så svaret blir 0 enligt mig :D men i facit något helt annat :D 

f(0)=0 eftersom att alla termer inneåller x, samma sak med 1:a derivatan, men vid 2:a derivatan så får vi ju vår första konstant från den första termen (x^2) som bara blir 2 och alla andra termer blir 0. Vid tredje derivatan så blir allt 0 igen och så fortsätter det så här. Exponenterna ökar ju med 3, så efter var tredje derivata så får vi en konstant när vi stoppar in x=0. Så om vi deriverar 8 gånger så borde vi få totalt 3 tal, dvs 2, -5! och 8!

Hur får du formellt sett tag på 1:a derivatan? Det är ju en oändlig summa du har och inte en ändlig summa.

Det är lite farligt att derivera i summan då vi egentligen byter plats på två gränsvärden (derivata-gränsvärde och oändlig summa-gränsvärdet). Ska man göra det måste man ha en motivation för det. Isåfall bör man kolla t.ex. likformig konvergens eller något annat argument för varför det är ok först.

Vi vet hur f(x) ser ut och vi förstår dess mönster, det är ett väldigt enkelt polynom som bara innehåller koefficienter, x samt heltalsexponenter. Samt derivatan av en summa är summan av derivatorna, så man deriverar bara varje term för sig. När vi deriverar denna oändliga summa första gången så är det bara att följa mönstret och då vet vi exakt hur varje term ända till n:te termen ser ut. Vi vet att f(x)=x2-x5+x8-x11+..., och därav blir f'(x)=2x-5x4+8x7-11x10+14x13+..., exponenterna ökar för alltid så därför är vi säkra på att vi inte får någon konstant just här, och när vi stoppar in x=0 så blir allt 0 eftersom att alla termer innehåller x. Men vid just andraderivatan så får vi vår första konstant, alltså derivatan av 2x som bara är 2, vilket inte är beroende av x alls, så när vi stoppar in x=0 så får vi bara 2 och allt annat är 0, så fortsätter det just så här var tredje derivata.

tomast80 Online 3593
Postad: 19 jun 09:05

Se en lösning nedan:

oggih Online 921 – F.d. Moderator
Postad: 19 jun 16:17 Redigerad: 19 jun 18:16

Jag tycker att det är många och smarta lösningsförslag som har diskuterats i tråden hittills, men någonstans kan jag tycka att ni krånglar till det lite genom att blanda in serier. Inte för att jag har något emot serier, men de är lite meckiga att jobba med om man vill vara helt stringent. Framför allt är det inte alls uppenbart att man kan derivera en potensserie term för term inom konvergensradien, utan det är något som kräver ett ordentligt bevis (se t.ex. den här blogposten av självaste Timothy Gowers), och jag vet inte om TS har kommit dit ännu. 

Nu var det länge sedan jag lärde mig om Maclaurinutvecklingar, så jag kanske förbiser något, men ungefär så här hade jag tänkt om jag fick den här uppgiften.


Det finns två sätt att definiera Maclaruinpolynomet av grad 8 för en funktion f(x)f(x) som är deriverbar minst 8 gånger i punkten x=0x=0. Det ena är med hjälp av en formel:

Definition 1. Maclaurinpolynomet av grad 8 ges av formeln

   P8(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x2++f(8)(0)8!x8.\displaystyle P_8{(x)}={f(0) + f'(0)x} + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8\,.

I princip skulle du nu kunna derivera din funktion 8 gånger med hjälp av kvotregeln och de andra deriveringsreglerna, evaluera vid x=0x=0 och sedan räkna fram svaret. Det skulle vara massa jobb, men det fungerar, och om du har tillgång till en dator som kan hålla koll på alla termer i derivatorna är det fullt görbart. Du kan t.ex. fråga Wolfram Alpha vad f(8)(0)f^{(8)}(0) är så här!

Den andra definitionen ger igen explicit formel, utan tar i stället fasta på vilka egenskaper Maclaurinpolynomet har:

Definition 2. Macluarinpolynmet av grad 8 är det unika polynom P8(x)P_8(x) med gradtal max 8, som har egenskapen att

   f(x)=P8(x)+B(x)x9felterm\,{f(x)} = {P_8(x)} + \underbrace{{\color{blue}B(x)}x^9}_\mathrm{felterm}

för någon funktion B(x)B(x) som är begränsad (dvs. sticker inte iväg mot oändligheten) för x0x\approx 0.

Annorludna uttryckt: f(x)=P8(x)+O(x9)f(x)=P_8(x) + \mathcal{O}(x^9).

Att det verkligen finns ett unikt sådant polynom P8(x)P_8(x) och att det är precis det polynom som anges i Definition 1 är lite smått magiskt, och visas antagligen som en sats i din mattebok.

Jag är personligen ett stort fan av Definition 2, eftersom den gör det möjligt att bygga ihop Macluarinutvecklingar för komplicerade funktioner, med hjälp av kända Maclaurinutvecklarn för enklare funktioner!


I ditt fall kan vi börja med funktionen 11-t\frac{1}{1-t}. Du har säkert Maclaurinutvecklat den femtielva gånger redan, annars kan du säkert för hand verifiera att vi har följande andragradsutveckling (du kommer se senare varför det räcker med grad 2):

   11-t=1+t+t2+B(t)t3felterm\displaystyle\frac{1}{1-t}=1+t+t^2+\underbrace{B(t)t^3}_\mathrm{felterm},  där B(t)B(t) är begränsat för t0t\approx 0.

Bra! Nu kan kan vi bygga på den här funktionen till en funktion som liknar f(x)f(x) lite mer, genom att ersätta tt med -x3-x^3. Då får vi

  11+x3=11-(-x3)=1+(-x3)+(-x3)2+B(-x3)(-x3)3=1-x3+x6-B(-x3)x9felterm.\displaystyle\frac{1}{1+x^3}=\frac{1}{1-(-x^3)}={1+(-x^3)+(-x^3)^2}+{B(-x^3)(-x^3)^3}=1-x^3+x^6-\underbrace{B(-x^3)x^9}_\mathrm{felterm}\,.

Och sen behöver vi bara multiplicera in x2x^2 för att få f(x)f(x), så här:

   f(x)=x2·11+x3=x2(1-x3+x6-B(-x3)x9)=x2-x5+x8-B(-x3)x2x9felterm.\displaystyle {f(x)}=x^2\cdot \frac{1}{1+x^3}={x^2(1-x^3+x^6-B(-x^3)x^9)}=x^2-x^5+x^8\,\underbrace{{\color{blue}-\,{B(-x^3)}x^2} x^{9}}_\mathrm{felterm}\,.

Voilà: en åttagradsapproximation av f(x)f(x).

Det enda vi behöver göra nu är att kontrollera så att feltermen matchar formen i Definition 2. Och visst gör den det. Om B(t)B(t) är begränsat för t0t\approx 0, så kommer -B(-x3)-B(-x^3) vara begränsat för x0x\approx 0. För x0x\approx 0 kommer dessutom x2x^2 att vara pyttelitet, så -B(-x3)x2-B(-x^3)x^2 kommer också att vara begränsat. Så ja, vi har tydligen hittat Maclaurinpolynomet av grad 8.

Slutsats: P8(x)=x2-x5+x8P_8(x)=x^2-x^5+x^8.

Notera: Om vi bakar ihop x2x^2 och x9x^9 i feltermen, så ser vi att feltermen faktiskt har gradtal 11, så vårt polynom är även lika med P9(x)P_9(x) och P10(x)P_{10}(x).

Följdfråga: Kan du upprepa argumentet ovan för att bestämma ett Maclaurinpolynom av högre grad, t.ex. P11(x)P_{11}(x)? Hur lång utveckling av 11-t\frac{1}{1-t} måste du starta med för att den slutgiltiga utvecklingen av f(x)f(x) ska få tillräckligt högt gradtal på feltermen?

PATENTERAMERA 2586
Postad: 19 jun 22:24 Redigerad: 19 jun 22:24

Jag har en fråga om definitionerna här.

Om vi tex har f(x) = P8(x) + H(x)x9, där H är heavisidefunktionen, så är väl f inte ens deriverbar i 0, och kan väl då inte sägas ha ett Maclaurinpolynom av ordningen 8, eftersom Maclaurinutvecklingen kräver deriverbarhet. Eller?

Måste vi inte säga något i stil med: om f är nio gånger kontinuerligt deriverbar i 0 och om vi kan skriva f(x) enligt f(x) = P8(x) + O(x9), där P8(x) är något polynom av grad mindre eller lika med 8,  så måste P8(x) vara lika Maclaurinpolynomet av ordningen 8?

oggih Online 921 – F.d. Moderator
Postad: 19 jun 23:51 Redigerad: 20 jun 00:18

Hm, jag håller med om att premissen i mitt förra inlägg nog blev lite för svag (det behöv nog en extra derivata, och dessutom behöver nog deriverbarhet i en omgivning runt origo). Dessutom blev Definition 2 lite otydligt (det räcker att approximationen gäller i närheten av origo).

Jag tror satsen jag har i åtanke är något i stil med följande, men jag får nog återigen reservera mig för att jag kanske missar något viktigt:

Sats. Låt f(x)f(x) vara en funktion som är n+1n+1 gånger kontinuerligt deriverbar på ett öppet intervall runt x=0x=0. Då existerar det ett unikt polynom Pn(x)P_n(x) med gradtal max nn med följande egenskap:

Det existerar en öppen omgivning av x=0x=0 där f(x)f(x) kan skrivas på formen f(x)=Pn(x)+B(x)xn+1f(x)=P_n(x)+B(x)x^{n+1} för en begränsad funktion B(x)B(x)

Detta unika polynom ges av formeln

   Pn(x)=k=0nf(k)(0)k!xk\displaystyle {P_n(x)}=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)(0)}}{k!}x^k

och kallas för Maclaurinpolyomet av grad nn för funktionen ff.

Vi skulle då fortsatt kunna tänka oss att vi har två ekvivalenta definitioner: antingen använder vi formeln som definition, eller så använder vi den kursiverade egenskapen hos Maclaurinpolynom som definition.

Låter dettaa rätt, eller har någon av forumets alla klippska analysmännsikor något mer motexempel i bakfickan? 😉

tomast80 Online 3593
Postad: 20 jun 09:21

ogghi, vad händer om man tillämpar din definition av Maclaurinutveckling på följande funktion?

oggih Online 921 – F.d. Moderator
Postad: 20 jun 11:33 Redigerad: 20 jun 11:58
tomast80 skrev:

ogghi, vad händer om man tillämpar din definition av Maclaurinutveckling på följande funktion?

Vi får prova helt enkelt!

Låt oss till att börja med fixera att positivt heltal nn; eftersom funktionen är oändligt deriverbar på hela \mathbb{R}, så kommer premissen i satsen att vara uppfylld oavsett vilket nn vi väljer.

Vidare är det ganska enkelt att övertyga sig med hjälp av derivatans definition om att

   f'(0)=f''(0)==f(n)(0)=0,f'(0)=f''(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0\,,

så om vi använder formeln för det nn:te maclaurinpolynomet i mitt förra inlägg så får vi Pn(x)=0P_n(x)=0, dvs. det konstanta nollpolynomet. Intressant!

Kvar att kontrollera är nu huruvida detta verkligen är en tillräckligt bra approximation av f(x)f(x) i närheten av x=0x=0 för att den kursiverade egenskapen i mitt förra inlägg ska vara uppfylld. Och det är den så vitt jag kan se! Vi kan nämligen skriva

   f(x)=0+e-1/x2xn+1xn+1felterm,\displaystyle {f(x)}=0+\underbrace{{\color{blue}\frac{e^{-1/x^2}}{x^{n+1}}}x^{n+1}}_\mathrm{felterm}\,,

där det är relativt enkelt att övertyga sig om att den blåmarkerade biten är begränsad nära x=0x=0; t.ex. så kan vi notera att

   limx0e-1/x2xn+1=limt±tn+1et2=0.\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^{-1/x^2}}{x^{n+1}}=\lim_{t\to\pm\infty}\frac{t^{n+1}}{e^{t^2}}=0\,.

Med andra ord så är f(x)=0+O(xn+1)f(x)=0+\mathcal{O}(x^{n+1}), så jag tror att allt är frid och fröjd! ^_^

(Men det finns många små subtila fallgropar i analys, så jag kanske missar något.)

Det här makear för övrigt väldigt mycket sense rent visuellt också: funktionen är väldigt lik den konstanta funktionen 00 i närheten av x=0x=0, vilket följande figur visar:

Svara Avbryt
Close