maclurin serie

Ska du visa bara några termer, eller en summaformel?

summaformel

Om man deriverar ett antal gånger ser man kanske ett mönster. Det kan bara bli f⁽ⁿ⁾(x) = e^x(A_ncos(x) + B_nsin(x)) för varje derivata. De där A och B kanske går lätt att uttrycka i n.

Här en variant som utnyttjar komplexa tal. Utnyttja att f(x) = Re(e^xe^ix) = Re(e^(1+i)x). Bonne Chance.

PATENTERAMERA skrev:

Här en variant som utnyttjar komplexa tal. Utnyttja att f(x) = Re(e^xe^ix) = Re(e^(1+i)x). Bonne Chance.

Visa spoiler

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=Re\left(e^x·e^{ix}\right)=Re\left(e^{\left(1+i\right)x}\right)=Re\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(1+i\right)}^k{x}^k}{k!}\right)= \\ Re\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^{k/2}·e^{i{\displaystyle \frac{\mathrm{k\pi }}{4}}}·x^k}{k!}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^{k/2}·\cos \left(\mathrm{k\pi }/4\right)·x^k}{k!} \end{gathered}$$

kan man göra det utan komplexa tal?

Det går säkert. Men kommer inte på något som blir enkelt.

theswagmaster skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Här en variant som utnyttjar komplexa tal. Utnyttja att f(x) = Re(e^xe^ix) = Re(e^(1+i)x). Bonne Chance.

Visa spoiler

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=Re\left(e^x·e^{ix}\right)=Re\left(e^{\left(1+i\right)x}\right)=Re\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(1+i\right)}^k{x}^k}{k!}\right)= \\ Re\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^{k/2}·e^{i{\displaystyle \frac{\mathrm{k\pi }}{4}}}·x^k}{k!}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^{k/2}·\cos \left(\mathrm{k\pi }/4\right)·x^k}{k!} \end{gathered}$$

kan man göra det utan komplexa tal?

Det går, men det är tråkiga räkningar;

För x=0 får man sedan

och så får man lista ut att cos(π/4 k) är bra att ha som faktor då vart 4:e tal är 0. Sedan en potens av sqrt2 etc.