Mafy 2008 uppgift 13

Enligt facit är detta rätta svaret d), menar du det?

Tänkte du på reella tal? Då finns det två.

Juitre skrev:

Enligt facit är detta rätta svaret d), menar du det?

Precis jag såg fel. 

Laguna skrev:

Tänkte du på reella tal? Då finns det två.

Aa det är det ,så antalet komplexa lösningar här är 0? 

destiny99 skrev:

 

Aa det är det ,så antalet komplexa lösningar här är 0? 

Nej, inte riktigt. Känner du till den geometriska tolkningen av absolutvärdet av ett komplext tal?

Juitre skrev:

destiny99 skrev:

 

Aa det är det ,så antalet komplexa lösningar här är 0? 

 

Nej, inte riktigt. Känner du till den geometriska tolkningen av absolutvärdet av ett komplext tal?

Jag har tyvärr inget minne av det. Om det finns en teori om detta som liknar uppgiften så länka gärna!

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras som 

|z| = $\sqrt{a²+b²}$

I det komplexa talplanet kan alltså absolutbeloppet tolkas som avståndet mellan origo och z. 

För två komplexa tal z1 och z2 gäller därför att |z1-z2| kan tolkas som avståndet mellan talen i det komplexa talplanet (ser du varför?) Kan du då lösa uppgiften?

Juitre skrev:

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras som 

|z| = $\sqrt{a²+b²}$

I det komplexa talplanet kan alltså absolutbeloppet tolkas som avståndet mellan origo och z. 

För två komplexa tal z1 och z2 gäller därför att |z1-z2| kan tolkas som avståndet mellan talen i det komplexa talplanet (ser du varför?) Kan du då lösa uppgiften?

Hm okej jag är ej helt hundra på om det är så man skall lösa uppgiften på. Men jag får 4 lösningar.

Tänk på att z är ett komplext tal. Skriv det istället på formen a+bi som blir det kanske lättare. Tänk också på att talen du kvadrerar under rottecknet är realdelen respektive imaginärdelen.

Juitre skrev:

Tänk på att z är ett komplext tal. Skriv det istället på formen a+bi som blir det kanske lättare. Tänk också på att talen du kvadrerar under rottecknet är realdelen respektive imaginärdelen.

Vi ser att readelen är antingen -3 eller -1. Imaginära är då 0. 

Det ska vara $\sqrt{(a+2)²+b²}$

och inte

$\sqrt{(a+2)²-b²}$.

Här är b inte ett imaginärt tal utan ett reellt tal, du kan därmed inte anta att (a+2)² = 1 och att b² = 0. 

Juitre skrev:

Det ska vara $\sqrt{(a+2)²+b²}$

och inte

$\sqrt{(a+2)²-b²}$.

Här är b inte ett imaginärt tal utan ett reellt tal, du kan därmed inte anta att (a+2)² = 1 och att b² = 0. 

men i^2=-1? Och varför är mitt antagande fel? 

För ett komplext tal a+bi, för reella tal a och b är absolutbeloppet talet

$\sqrt{a²+b²}$

d.v.s inga imaginära tal involverade.

Juitre skrev:

För ett komplext tal a+bi, för reella tal a och b är absolutbeloppet talet

$\sqrt{a²+b²}$

d.v.s inga imaginära tal involverade.

Okej. Det ser ut som att a och b kan anta oändligt många tal vilket innebär att det finns oändligt många komplexa lösningar ?

Rita det komplexa talplanet.

destiny99 skrev:

Okej. Det ser ut som att a och b kan anta oändligt många tal vilket innebär att det finns oändligt många komplexa lösningar ?

Det är korrekt, men håller med Laguna. 

Laguna skrev:

Rita det komplexa talplanet.

Med a och b som okända?

Juitre skrev:

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras som 

|z| = $\sqrt{a²+b²}$

I det komplexa talplanet kan alltså absolutbeloppet tolkas som avståndet mellan origo och z. 

För två komplexa tal z1 och z2 gäller därför att |z1-z2| kan tolkas som avståndet mellan talen i det komplexa talplanet (ser du varför?) Kan du då lösa uppgiften?

Använd detta. |z+2| = |z-(-2)| är alltså avståndet mellan z och och punkten -2. Vilka punkter har avståndet 1 till punkten -2? 

Juitre skrev:

Juitre skrev:

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras som 

|z| = $\sqrt{a²+b²}$

I det komplexa talplanet kan alltså absolutbeloppet tolkas som avståndet mellan origo och z. 

För två komplexa tal z1 och z2 gäller därför att |z1-z2| kan tolkas som avståndet mellan talen i det komplexa talplanet (ser du varför?) Kan du då lösa uppgiften?

Använd detta. |z+2| = |z-(-2)| är alltså avståndet mellan z och och punkten -2. Vilka punkter har avståndet 1 till punkten -2? 

Jag tror ej jag minns hur man ritade detta. Kan det vara såhär ?

Ja, detta är det komplexa talplanet. Markera nu punkten -2. Vilka punkter z har ett avstånd 1 till denna punkt?

Juitre skrev:

Ja, detta är det komplexa talplanet. Markera nu punkten -2. Vilka punkter z har ett avstånd 1 till denna punkt?

Hm förstår ej vad du menar med avstånd 1 till denna punkt? Jag markerade i alla fall punkten -2 

Alltså att avståndet mellan punkten z och -2 är 1.

Juitre skrev:

Alltså att avståndet mellan punkten z och -2 är 1.

Enda punkten som uppfyller är typ z=-1 ? För då blir det |-1+2|=|-1|=1 vilket är ekvivalent med högerledet?

Punkterna -3, -2 + i och -2-i fungerar också. Kan du hitta ett sätt att beskriva alla punkter med egenskapen?

Juitre skrev:

Punkterna -3, -2 + i och -2-i fungerar också. Kan du hitta ett sätt att beskriva alla punkter med egenskapen?

Okej juste. Alltså |z+2|>=1?

Nej, testa att rita en cirkel med medelpunkt i -2 och radie 1.

Nej alltså, med medelpunkt i -2. 

Juitre skrev:

Nej alltså, med medelpunkt i -2. 

Nej, medelpunkten är punkten mitt i cirkeln, den ligger inte på periferin. 

Juitre skrev:

Nej, medelpunkten är punkten mitt i cirkeln, den ligger inte på periferin. 

Jo men det är jag med på. Jag får nu såhär. 

Ja, underbart! Förstår du nu varför alla punkter på cirkeln har avståndet 1 till -2?

Juitre skrev:

Ja, underbart! Förstår du nu varför alla punkter på cirkeln har avståndet 1 till -2?

Ja det är väl att z1-z2=1? Så z1 =z och z2=2?

Ja (fast z2 = -2). Alltså uppfyller alla z på cirkeln ekvationen |z+2| = 1, och därmed finns det oändligt många lösningar.