Mafy 2013 uppgift 22

Det här stämmer inte.

Dessutom räcker det inte att diskriminanten är icke-negativ.

Det måste även gälla att $-\frac{a}{3}\pm\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$ > $0$

Yngve skrev:

Det här stämmer inte.

Ja men såklart! 21 är ej i faktorer av sig själv.  Är det därför man ej kan undersöka a²-21>=0 mha teckentabell? Sätter vi detta lika med 0 får vi att a är antingen sqrt(21) eller -sqrt(21).

Du kan använda teckentabell om du vill.

För att diskriminanten ska vara icke-negativ krävs att $a\leq-\sqrt{21}$ eller att $a\geq\sqrt{21}$

Yngve skrev:

Det här stämmer inte.

Dessutom räcker det inte att diskriminanten är icke-negativ.

Det måste även gälla att $-\frac{a}{3}\pm\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$ > $0$

Varför tittar vi på hela uttrycket du skrev för att det ska gälla? Eller vad menar du ska gälla? Jag ser att du ej tar med lika med 0. Varför gör ej du det?

Yngve skrev:

Du kan använda teckentabell om du vill.

För att diskriminanten ska vara icke-negativ krävs att $a\leq-\sqrt{21}$ eller att $a\geq\sqrt{21}$

Ja det var väl teckentabell jag försökte med tidigare. Är min nuvarande teckentabell ej rätt? Kom ju fram till samma sak som du skrev. 

destiny99 skrev:

Varför tittar vi på hela uttrycket du skrev för att det ska gälla? Eller vad menar du ska gälla? Jag ser att du ej tar med lika med 0. Varför gör ej du det?

Det som efterfrågas är det största heltal som a kan ha för att båda lösningarna till ekvationen ska vara positiva, dvs för att båda lösningarna ska vara större än 0.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Varför tittar vi på hela uttrycket du skrev för att det ska gälla? Eller vad menar du ska gälla? Jag ser att du ej tar med lika med 0. Varför gör ej du det?

Det som efterfrågas är det största heltal som a kan ha för att båda lösningarna till ekvationen ska vara positiva, dvs för att båda lösningarna ska vara större än 0.

Okej så skälet till varför du ej tog med lika med 0 är för att du vill veta för vilket a gör att lösningarna blir positiva dvs större än 0? Medan när vi tittar på diskriminanten så ska den vara större eller lika med 0 för diskriminaten kan vara lika med 0 pga dubbelrot?

destiny99 skrev:

Okej så skälet till varför du ej tog med lika med 0 är för att du vill veta för vilket a gör att lösningarna blir positiva dvs större än 0?

Ja, det stämmer.

Medan när vi tittar på diskriminanten så ska den vara större eller lika med 0 för diskriminaten kan vara lika med 0 pga dubbelrot?

Ja, vi vill att diskriminanten ska vara $\geq0$ så att vi får reella lösningar.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Okej så skälet till varför du ej tog med lika med 0 är för att du vill veta för vilket a gör att lösningarna blir positiva dvs större än 0?

Ja, det stämmer.

Medan när vi tittar på diskriminanten så ska den vara större eller lika med 0 för diskriminaten kan vara lika med 0 pga dubbelrot?

Ja, vi vill att diskriminanten ska vara $\geq0$ så att vi får reella lösningar.

Okej. Men jag har fortfarande svårt att bestämma ett exakt värde på a när jag konstrurerat detta tallinje. Mellan ändpunkterna är ju a negativt

Du har illustrerat det ena villkoret, att lösningarna ska vara reella.

Hur tänker du kring det andra villkoret, att båda lösningarna ska vara positiva?

Yngve skrev:

Du har illustrerat det ena villkoret, att lösningarna ska vara reella.

Hur tänker du kring det andra villkoret, att båda lösningarna ska vara positiva?

Vilket andra villkor menar du nu?

Det jag skrev om i svar #2 och som kommer från uppgiftslydelsen:

Yngve skrev:

Det här stämmer inte.

Dessutom räcker det inte att diskriminanten är icke-negativ.

Det måste även gälla att $-\frac{a}{3}\pm\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$ > $0$

Jag har inga tankar gällande det. Min gissning är att vi ska titta på två fall dvs då -a/3+sqrt(a^2-21)/3>0 och även fallet -a/3-sqrt(a^2-21)/3>0.  Vi ska hitta något a som gör att båda fall är uppfyllda?

Ja det stämmer..

Titta på det den minsta av dessa två rötter, dvs det sista fallet $x=-\frac{a}{3}-\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$.

Vi ska nu se vad som krävs för att denna rot ska vara positiv.

Sätt $b=\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$

Med villkoret att $a^2-21\geq0$ så vet du att $b\geq0$, eftersom "roten ur" aldrig blir negativ.

Då har du att den ena roten är $-\frac{a}{3}-b$, där $b\geq0$.

För att detta tal ska bli ett positivt tal så måste det gälla att $-\frac{a}{3}$ > $b$.

Detta innebär att $-\frac{a}{3}$ måste vara ett positivt tal, vilket betyder att $a$ måste vara ett negativt tal.

Yngve skrev:

Ja det stämmer..

Titta på det den minsta av dessa två rötter, dvs det sista fallet $x=-\frac{a}{3}-\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$.

Vi ska nu se vad som krävs för att denna rot ska vara positiv.

Sätt $b=\frac{\sqrt{a^2-21}}{3}$

Med villkoret att $a^2-21\geq0$ så vet du att $b\geq0$, eftersom "roten ur" aldrig blir negativ.

Då har du att den ena roten är $-\frac{a}{3}-b$, där $b\geq0$.

För att detta tal ska bli ett positivt tal så måste det gälla att $-\frac{a}{3}$ > $b$.

Detta innebär att $-\frac{a}{3}$ måste vara ett positivt tal, vilket betyder att $a$ måste vara ett negativt tal.

Något som förvirrar mig är varför vi tittar på den minsta roten och ej största roten? Hade vi kunnat resonera på samma sätt för största roten? Hade vi fått att a måste vara ett negativt tal? Nästa steg är att hitta talet som uppfyller att -a/3 är positivt och större än b?

Om den minsta roten är positiv så är även den största roten positiv, så vi behöver inte titta på den.

Yngve skrev:

Om den minsta roten är positiv så är även den största roten positiv, så vi behöver inte titta på den.

Men jag hänger ej med här. Hur kan du veta att det är så? Du visade bara den minsta roten leder oss till att a måste bli negativt för att vi skall få positiva lösningar. Du visade ej vad som händer om vi väljer största roten. Har för mig det finns ekvationer som gör att ena roten blir positiv medan andra blir negativ dvs vi får olika tecken på lösningar. Då gäller det ej alltid att om vi får en negativ lösning så måste den andra lösningen också vara negativ?

Kalla de två rötterna $x_1$ och $x_2$, där $x_1\leq x_2$

Är du med på att om nu $x_1$ > $0$ så är även $x_2$ > $0$?

Yngve skrev:

Kalla de två rötterna $x_1$ och $x_2$, där $x_1\leq x_2$

Är du med på att om nu $x_1$ > $0$ så är även $x_2$ > $0$?

Tyvärr inte. Hur kan x1<x2? Borde det ej vara x1>x2? Sen säger du att om x1>0 så är även x2>0. Hur är det om båda negativa eller om en av dem är negativa då gäller väl ej att en av dem är >0?

X1=positiv lösning

X2=negativ lösning

OK, det går lika bra på det sättet.

Kalla de två rötterna $x_1$ och $x_2$, där $x_1\geq x_2$, dvs $x_2$ är den mindre lösningen.

Är du med på att om nu $x_2$ > $0$ så är även $x_1$ > $0$?

Detta eftersom $x_1\geq x_2$

Yngve skrev:

OK, det går lika bra på det sättet.

Kalla de två rötterna $x_1$ och $x_2$, där $x_1\geq x_2$, dvs $x_2$ är den mindre lösningen.

Är du med på att om nu $x_2$ > $0$ så är även $x_1$ > $0$?

Detta eftersom $x_1\geq x_2$

Jag är med på det ,men du vet väl om att x2 kan vara negativ också?  Då kan ej x2>0 då vänds olikheten till x2<0? För du skrev x2 är mindre lösning. Resonemanget håller ej riktigt för negativa tal på x2 dvs när du säger " om nu x2>0 så är även x1>0 ty x1>x2" 

Vi vill att både x₁ och x₂ ska vara positiva, enligt uppgiften.

Om det ska vara möjligt så måste a vara ett negativt tal.

Yngve skrev:

Vi vill att både x₁ och x₂ ska vara positiva, enligt uppgiften.

Om det ska vara möjligt så måste a vara ett negativt tal.

Okej, du visade för minsta roten att a måste vara negativt tal. Så du hade även kunnat göra det för den största roten och ändå komma fram till att a ska vara negativt för att vi ska få positiva lösningar då du vet att x1>0 och x2>0 ?

Nej, bara för att den största roten är positiv så behöver inte även den minsta roten vara det.

Men tvärtom funkar det, om den minsta roten är positiv så kommer även den största att vara det.

Är du med på det?

======

Om inte så kan vi ta ett exempel för att belysa vad jag menar.

Säg att x₁ = -2+b och x₂ = -2-b, där b > 0, dvs x₁ > x₂.

Säg nu att vi ska välja b så att både x₁ och x₂ blir positiva tal.

om vi nu tittar enbart på den största roten x₁ så ser vi att kravet för att x₁ ska vara positivt är att -2+b > 0, dvs att b > 2.

Vi kan t ex. välja b = 3. Då blir x₁ = -2+3 = 1, vilket är ett positivt tal. Men då är x₂ = -2-3 = -5, vilket är ett negativt tal.

Det räcker alltså inte att enbart se till att den största roten är positiv.

Jag låter dig ta fram villkoret på b för att båda rötterna ska vara positiva.

Yngve skrev:

Nej, bara för att den största roten är positiv så behöver inte även den minsta roten vara det.

Men tvärtom funkar det, om den minsta roten är positiv så kommer även den största att vara det.

Är du med på det?

======

Om inte så kan vi ta ett exempel för att belysa vad jag menar.

Säg att x₁ = -2+b och x₂ = -2-b, där b > 0, dvs x₁ > x₂.

Säg nu att vi ska välja b så att både x₁ och x₂ blir positiva tal.

om vi nu tittar enbart på den största roten x₁ så ser vi att kravet för att x₁ ska vara positivt är att -2+b > 0, dvs att b > 2.

Vi kan t ex. välja b = 3. Då blir x₁ = -2+3 = 1, vilket är ett positivt tal. Men då är x₂ = -2-3 = -5, vilket är ett negativt tal.

Det räcker alltså inte att enbart se till att den största roten är positiv.

Jag låter dig ta fram villkoret på b för att båda rötterna ska vara positiva.

Jag är ej med på det."Men tvärtom funkar det, om den minsta roten är positiv så kommer även den största att vara det." 

Jag förstår ej hur den minsta roten är positiv så är den största roten positiv? I två av dina exempel fick vi x1=positivt och x2=negativt tal.  Det låter ej logiskt med vad du skriver.

Har du läst exemplet jag gav?

Yngve skrev:

Har du läst exemplet jag gav?

Det gjorde jag men det är ej logiskt och sen är tydligen b positiv för x1 och negativ för x2 då du skriver -2+b och -2-b och kallar det b>0. b>0 för ena uttrycket men ej för andra.

Yngve skrev:

Nej, bara för att den största roten är positiv så behöver inte även den minsta roten vara det.

Men tvärtom funkar det, om den minsta roten är positiv så kommer även den största att vara det.

Är du med på det?

======

Om inte så kan vi ta ett exempel för att belysa vad jag menar.

Säg att x₁ = -2+b och x₂ = -2-b, där b > 0, dvs x₁ > x₂.

Säg nu att vi ska välja b så att både x₁ och x₂ blir positiva tal.

om vi nu tittar enbart på den största roten x₁ så ser vi att kravet för att x₁ ska vara positivt är att -2+b > 0, dvs att b > 2.

Vi kan t ex. välja b = 3. Då blir x₁ = -2+3 = 1, vilket är ett positivt tal. Men då är x₂ = -2-3 = -5, vilket är ett negativt tal.

Det räcker alltså inte att enbart se till att den största roten är positiv.

Jag låter dig ta fram villkoret på b för att båda rötterna ska vara positiva.

För att båda rötter ska vara positiva så måste b>2 och b<-2 

destiny99 skrev:

Det gjorde jag men det är ej logiskt och sen är tydligen b positiv för x1 och negativ för x2 då du skriver -2+b och -2-b och kallar det b>0. b>0 för ena uttrycket men ej för andra.

Nej, b är ett positivt tal i båda fallen.

I första fallet så adderar vi det positiva talet b till talet -3, i andra fallet subtraherar vi det positiva talet b från talet -3.

Liknande exempel:

Vi har två positiva tal 7 och 5.

• I uttrycket 7+5 så adderar vi det positiva talet 5 till 7.
• I uttrycket 7-5 så subtraherar vi det positiva talet 5 från talet 7 

I båda fallen är 5 ett positivt tal 

Yngve skrev:

Nej, b är ett positivt tal i båda fallen.

I första fallet så adderar vi det positiva talet b till talet -3, i andra fallet subtraherar vi det positiva talet b från talet -3.

Liknande exempel:

Vi har två positiva tal 7 och 5.

• I uttrycket 7+5 så adderar vi det positiva talet 5 till 7.
• I uttrycket 7-5 så subtraherar vi det positiva talet 5 från talet 7 

I båda fallen är 5 ett positivt tal 

Ok så det är som att säga 7-(+5) då 5 är positivt.

destiny99 skrev:

Ok så det är som att säga 7-(+5) då 5 är positivt.

Ja. Det är skillnad på subtraktion och negativa tal.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ok så det är som att säga 7-(+5) då 5 är positivt.

Ja. Det är skillnad på subtraktion och negativa tal.

Ok. Hade det stått -7-5 så hade -7 varit negativt tal medan 5 är fortfarande positivt tal.

destiny99 skrev:

Ok. Hade det stått -7-5 så hade -7 varit negativt tal medan 5 är fortfarande positivt tal.

Ja, det stämmer.

Jag börjar bli trött, ser nu att jag gav ett riktigt dåligt exempel i svar #25, det går inte att få både -2+b och -2-b att vli positiva samtidigt om b > 0.

Ta istället den här:

x₁ = 2+b och x₂ = 2-b, där b > 0, dvs x₁ > x₂.

Om vi bara tittar på villkor att x₁ > 0 så får vi 2+b > 0, dvs b > -2. Med t.ex. b = 3 får vi x₁ = 2+3 = 5, vilket är ett positivt tal. Men då är x₂ = 2-3 = -1, vilket är ett negativt tal.

Att x₁ > 0 garanterar alltså inte att även x₂ > 0.

Men om vi istället tittar på ett villkor för att x₂ > 0 sp får vi 2-b > 0, vilket ger oss b < 2. Eftersom b > 0 så får vi då 0 < b < 2. För alla b i detta intervall gäller att även x₁ > 0.

Att x₂ > 0 garanterar alltså att även x₁ > 0.

Hängde du med då?

====

Nu måste jag sova, fortsätter imorgon.

Yngve skrev:

Jag börjar bli trött, ser nu att jag gav ett riktigt dåligt exempel i svar #25, det går inte att få både -2+b och -2-b att vli positiva samtidigt om b > 0.

Ta istället den här:

x₁ = 2+b och x₂ = 2-b, där b > 0, dvs x₁ > x₂.

Om vi bara tittar på villkor att x₁ > 0 så får vi 2+b > 0, dvs b > -2. Med t.ex. b = 3 får vi x₁ = 2+3 = 5, vilket är ett positivt tal. Men då är x₂ = 2-3 = -1, vilket är ett negativt tal.

Att x₁ > 0 garanterar alltså inte att även x₂ > 0.

Men om vi istället tittar på ett villkor för att x₂ > 0 sp får vi 2-b > 0, vilket ger oss b < 2. Eftersom b > 0 så får vi då 0 < b < 2. För alla b i detta intervall gäller att även x₁ > 0.

Att x₂ > 0 garanterar alltså att även x₁ > 0.

Hängde du med då?

====

Nu måste jag sova, fortsätter imorgon.

Ja jag hänger med.

OK bra.

Förstår du då varför vi inte behöver bry oss om x₁ utan att det räcker med att hitta villkoret som gör att x₂ > 0?  

destiny99 skrev:

Yngve skrev:

Du kan använda teckentabell om du vill.

[...]

Ja det var väl teckentabell jag försökte med tidigare. Är min nuvarande teckentabell ej rätt? Kom ju fram till samma sak som du skrev. 

Ser nu att jag missade att svara på den här frågan.

Jo, om du byter ut $21$ mot $\sqrt{21}$ överallt så är din teckentabell rätt.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Du kan använda teckentabell om du vill.

[...]

Ja det var väl teckentabell jag försökte med tidigare. Är min nuvarande teckentabell ej rätt? Kom ju fram till samma sak som du skrev. 

Ser nu att jag missade att svara på den här frågan.

Jo, om du byter ut $21$ mot $\sqrt{21}$ överallt så är din teckentabell rätt.

Okej jag kommer aldrig komma ihåg det här sättet vi löser uppgiften på. Det här provet kräver att vi löser snabbt på såna frågor. Vi kanske ska se över om det finns annat sätt att angripa frågan på som sparar tid. 

Prova att rita funktionen för några värden på a, och se var nollställena ligger.

Laguna skrev:

Prova att rita funktionen för några värden på a, och se var nollställena ligger.

Asså nollställen är ju sqrt(21) och -sqrt(21). 

Yngve skrev:

OK bra.

Förstår du då varför vi inte behöver bry oss om x₁ utan att det räcker med att hitta villkoret som gör att x₂ > 0?  

Jag förstår bara att x2 måste bli positivt för de värden på b du prövade. Ja asså du har ju gett exempel på då x1 blir positivt då b>2. Det är jag med på. Sen går du och tittar på x2 och du märker den är positiv i intervallet du skrev.

Jag kallar rötterna som vi har enligt uppgiften för A och B. 

så B>0 är uppfylld bara om a är negativt,så att titta bara på A säger det oss ingeting om B är negativt eller positivt vilket  den kan vara i något av fallen. Det vi är intresserad av är sista fallet då A>B>0 dvs då B>0 för att det ska ge positiva lösningar. Det verkar som att negativa tal är det som gör att det är uppfylld dvs från a=-5 och bakåt. Andra värden på a går ej då de ger antingen icke reell eller negativ lösning.

destiny99 skrev:

så B>0 är uppfylld bara om a är negativt,så att titta bara på A säger det oss ingeting om B är negativt eller positivt vilket  den kan vara i något av fallen. Det vi är intresserad av är sista fallet då A>B>0 dvs då B>0 för att det ska ge positiva lösningar. Det verkar som att negativa tal är det som gör att det är uppfylld dvs från a=-5 och bakåt. Andra värden på a går ej då de ger antingen icke reell eller negativ lösning.

Ja, det stämmer.

Känner du då att du skulle kunna lösa en liknande uppgift på ett snabbare sätt?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

så B>0 är uppfylld bara om a är negativt,så att titta bara på A säger det oss ingeting om B är negativt eller positivt vilket  den kan vara i något av fallen. Det vi är intresserad av är sista fallet då A>B>0 dvs då B>0 för att det ska ge positiva lösningar. Det verkar som att negativa tal är det som gör att det är uppfylld dvs från a=-5 och bakåt. Andra värden på a går ej då de ger antingen icke reell eller negativ lösning.

Ja, det stämmer.

Känner du då att du skulle kunna lösa en liknande uppgift på ett snabbare sätt?

Ja förmodligen om jag gör flera såna uppgifter.