MaFy 2014, 16.

Hej!

Du behöver faktiskt inte räkna så mycket här, det enda du behöver göra är att bestämma antalet reella rötter, och det kan vi göra med hjälp av vad vi vet om absolutbelopp funktionen. Om en andragradsfunktion rör sig under x-axeln under ett visst intervall $I$ så gäller att vi helt enkelt speglar funktionen i x-axeln i det intervallet när vi tar absolutbeloppet (rita gärna en bild).

Det finns i stort sett 4 fall:

Fall 1.

$x^2-6x+3\geq 6$ för alla $x$. Då gäller tydligt att vi har en eller ingen lösning alls. Med snabb inspektion ser vi dock att för $x=6$ så är värdet på funktionen $3$, så fall 1 gäller inte.

Fall 2.

$x^2-6x+3\geq 0$ för alla $x$. Då gäller att vi har två lösningar (rita gärna en bild). Men detta stämmer inte heller, eftersom exempelvis så gäller att för $x=3$ så är värdet av vår funktion lika med $-6$.

Fall 3.

$x^2-6x+3\geq -6$ för alla $x$. Då gäller att vi har två eller tre lösningar (rita även här gärna en bild). Som vi tidigare konstaterade så gäller att för $x=3$ får vi faktiskt värdet $-6$, vars belopp är lika med $6$. Alltså har vi minst tre lösningar.

Fall 4.

$x^2-6x+3\geq a$ för alla $x$ för något $a<-6$. Vi hittar lätt en minimipunkt för $x^2-6x+3$ genom att kvadratkomplettera till $\left(x-3\right)^2-6$, och vi ser att det minsta värde denna funktion kan anta är $-6$. Alltså gäller Fall 3 och vi har alltså 3 lösningar.

Det var kanske lite väl många falluppdelningar (för en så pass "enkel" uppgift i någon mening). Du kunde ha kvadratkompletterat direkt och insett hur många lösningar som finns, men jag tror att det kan vara nyttigt att tänka på alla olika fall separat ändå. Absolutbeloppfunktionen är något som kan vara lite klurigt när man inte stött på den så ofta, och det lönar sig nästan alltid att rita en bild när den kommer in i bilden.

Som vanligt är det en bra metod att rita.