Mafy 2014 uppgift 20

Diagonalen i din rektangel borde väl vara $\sqrt{5}$? 

Jag skulle i detta fall tro att det kan vara enklare att inte räkna med exakta siffror, utan att göra mer abstrakta uppskattningar. Vad händer om du ritar en cirkel och ritar in en extremt långsmal rektangel i den? Då kommer diagonalen att vara i princip lika stor som längden, medan höjden är nästan noll. Vad händer då för alternativ (a) respektive (d)?

Det kan också vara värt att notera att alternativ (d) är Pythagoras sats, om fyrhörningen är en kvadrat. :)

Smutstvätt skrev:

Diagonalen i din rektangel borde väl vara $\sqrt{5}$? 

Jag skulle i detta fall tro att det kan vara enklare att inte räkna med exakta siffror, utan att göra mer abstrakta uppskattningar. Vad händer om du ritar en cirkel och ritar in en extremt långsmal rektangel i den? Då kommer diagonalen att vara i princip lika stor som längden, medan höjden är nästan noll. Vad händer då för alternativ (a) respektive (d)?

Det kan också vara värt att notera att alternativ (d) är Pythagoras sats, om fyrhörningen är en kvadrat. :)

Åh tack! Ska rätta till detta nu med sqrt(5). Gällande ritningen förstår jag ej hur du menar jag ska göra som enklare alternativ. Jag vet ej heller hur du menar att alternativ d är pythagoras sats för en fyhörning. Det har jag aldrig hört om. 

Nu får jag att alternativ d) stämmer med diagonalen sqrt(5). Jag behövde bara testa med 2 olika fyrhörningar där d) stämmer bara och alla andra blev falska. Ja det var en del beräkningar men det gick ganska snabbt att räkna ut dem med enkla siffror som 1,2,3 liksom. 

destiny99 skrev:

Smutstvätt skrev:

Diagonalen i din rektangel borde väl vara $\sqrt{5}$? 

Jag skulle i detta fall tro att det kan vara enklare att inte räkna med exakta siffror, utan att göra mer abstrakta uppskattningar. Vad händer om du ritar en cirkel och ritar in en extremt långsmal rektangel i den? Då kommer diagonalen att vara i princip lika stor som längden, medan höjden är nästan noll. Vad händer då för alternativ (a) respektive (d)?

Det kan också vara värt att notera att alternativ (d) är Pythagoras sats, om fyrhörningen är en kvadrat. :)

Jag vet ej heller hur du menar att alternativ d är pythagoras sats för en fyhörning. Det har jag aldrig hört om. 

Det är ingen allmän formel som gäller, men om du har en kvadrat, så stämmer likheten i (d) överens med Pythagoras sats (sida*sida + sida*sida = diagonal^2). Det fungerar dock bara för att alla sidor är lika långa, och alla vinklar är räta. 

Nu får jag att alternativ d) stämmer med diagonalen sqrt(5). Jag behövde bara testa med 2 olika fyrhörningar där d) stämmer bara och alla andra blev falska. Ja det var en del beräkningar men det gick ganska snabbt att räkna ut dem med enkla siffror som 1,2,3 liksom. 

Vad bra! 😊

Min tanke var mest att slippa fundera på om en viss fyrhörning kan skrivas in i en cirkel, genom att rita in en något godtycklig, smal rektangel, typ: 

Här är sidorna AB och CD, samt diagonalerna AC och BD nästan lika långa, och sidorna AD och BC är mycket, mycket mindre i jämförelse. $AB\cdot BC$ blir då ett stort tal gånger ett litet tal, vilket ger oss ett värde som ligger någonstans mellan AB^2 och BC^2. $AC\cdot BD$ ger ett mycket stort tal, och $CD\cdot DA$ ett tal som ligger någonstans mellan CD^2 och DA^2. 

Låt oss nu utgå från att vi har en rektangel, så $AB=CD$, $AD=BC$ och $AC=BD$. Då får vi liknelsen: 

$$\begin{gathered} \left|AB\right|·\left|AD\right|={\left|AC\right|}^2-\left|AB\right|·\left|AD\right| \\ {\left|AC\right|}^2=2·\left|AB\right|·\left|AD\right| \end{gathered}$$

Vi vet också att AC är ungefär lika med AB, så vi får i princip jämförelsen

$$\begin{gathered} {\left|AC\right|}^2=2·\left|AC\right|·\left|AD\right| \\ \left|AC\right|=2·\left|AD\right| \end{gathered}$$

(desto smalare rektangel, desto närmare längder är AC och AB)

Detta kan vi se av figuren definitivt inte stämmer. 

Det är absolut inte fel att räkna med värden, men det kan också vara bra att träna på att köra lite "verkar detta ens rimligt"-metoder. Det kan ibland spara mycket tid att inte behöva hitta ett exakt exempel. :)