MaFy 2016, uppgift 22.

Blir det inte bra med a = 2?

Du har visat för vilka a som ekvationen har två reella rötter och det är en bra början för är de inte reella så är de inte positiva.  Men uppgiften är ju att bestämma a som ger positiva rötter vilket eventuellt är färre a:n.

Sen har du ju inte beaktat fallet a=1  (det föll ju bort när du dividerade med a-1) det ger ju ekvationen -x+1=0 vars alla (enda) rot är positiv.

För att rötterna ska vara positiva så måste:

 a/(2(a-1)) >= 0 annars är garanterat minst en rot negativ.

dessutom måste a/(2(a-1)) >= diskriminanten, annars blir en rot negativ

dessutom måste diskriminanten vara >= 0 för alla a (vilket den faktiskt är i detta fall, undantag för a = 1)

Slutligen må du kolla vad som händer när a = 1

Hej,

Fall 1. Parametern $a=1$. Ekvationen är $1-x=0$ som har en positiv lösning.

Fall 2. Parametern $a\neq1$. Dividera ekvationen med talet $(a-1)$ och inför beteckningarna $2b=a/(a-1)$ och $c=1/(a-1)$ så att ekvationen kan skrivas

    $x^2-2bx+c=0$

Kvadratkomplettering ger ekvationen

    $(x-b)^2+(c-b^2)=0$

från vilken framgår att en enda lösning finns precis då $c=b^2$ och att två lösningar finns precis då $c<b^2$; ifall $c>b^2$ saknas lösningar.

Då $a=1$ har ekvationen den positiva lösningen $x=1$

Då $a\neq 1$ kan man dela båda led med $(a-1)$ och får då

$x^2-\frac{a}{a-1}x+\frac{1}{a-1}=0$

Andragradsekvationen löser vi trivialt med t.ex. pq-formeln

$x_{12}=\frac{a\pm(a-2)}{2(a-1)}$

$x_1=1,\quad x_2=\frac{1}{a-1}$

Nu är det enkelt att se att $a>1$ är ett krav för att $x_2$ ska vara positiv. Detta tillsammans med den första iakttagelsen ($a=1$ ger en positiv lösning) gör att vi kan dra slutsatsen att $a=1$ är det sökta heltalet.