6 svar

130 visningar

Dani163 är nöjd med hjälpen

Mafy 2016 Uppgift 5

Vid första anblick så kände jag att (b) var rätt svar, men jag begick ett misstag då det inte sägs ifall x eller y båda är positiva, eller om endast den ena är positiv, eller om båda är negativa, osv.

Så då tänkte jag att det hade varit smidigast-ish om jag skapade en teckentabell.

Undrar vad ni tycker om sättet den är konstruerad, ifall den säger tillräckligt mycket:

Svaret ska vara (d).

Du antar att $\frac{1}{x} > \frac{1}{y} ä r e k v i v a l e n t m e d y > x, v i l k e t i n t e s t ä m m e r .$

Hur viste du att y>x när både x och y är negativa?

Jag hade använt motsägelse bevis så här:

a) x>y har en lösning x=4 och y =2 denna lösning är inte en lösning till olikheten ( $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ).

Hitta en lösning till olikheterna i a, b och c som inte uppfyller ursprungliga olikheten..

Mohammad Abdalla skrev:
Du antar att $\frac{1}{x} > \frac{1}{y} ä r e k v i v a l e n t m e d y > x, v i l k e t i n t e s t ä m m e r .$

Hur viste du att y>x när både x och y är negativa?

Jag hade använt motsägelse bevis så här:

a) x>y har en lösning x=4 och y =2 denna lösning är inte en lösning till olikheten ( $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ).

Hitta en lösning till olikheterna i a, b och c som inte uppfyller ursprungliga olikheten..

Tack! Jag försökte nu att använda specifika numeriska värden i tabellen för att visa att olikheten $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$ inte är ekvivalent med något av alternativen (a), (b) eller (c) för alla par av värden för $x$ och $y$ . Skulle du kunna ge din återkoppling på den nya tabellen och min förklaring? Tack på förhand!

Du har förklarat lite bättre än vad du gjorde i inlägg #1, men i fjärde raden i tabellen hur är det sant när x=-2 och y =-3?

Sen skrev du "Till exempel är x>y sant för första (-4,-2)", vilket inte stämmer.

Tabellen du gjorde är ganska bra för att du ska förstå hur olikheten fungerar i olika värden av x och y. Men jag tycker att du behöver koppla tabellen till uppgiften genom att lägga till tre kolumner efter de två första du hade,så kolumn tre ska vara (x<y), och kolumn fyra (x>y) och kolumn fem (xy>1) och sen kolumn sex ( $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ).

Sen ska du välja värden på x och y som är sant på kolumn tre men falsk i kolumn 6, då har du visat att a) inte stämmer.

Sen ska du välja värden på x och y som är sant på kolumn fyra men falsk i kolumn 6, då har du visat att b) inte stämmer.

Sen ska du välja värden på x och y som är sant på kolumn fem men falsk i kolumn 6, då har du visat att c) inte stämmer.

Vilket betyder att det räcker att tabellen ska ha tre rader.

I sista meningen du skrev saknas en fortsättning i form av att det paret du valt inte uppfyller olikheten ( $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ), vilket betyder att b) inte är sant.

Du får gärna skriva tillbaka om du inte hänger med.

Visa spoiler

Här ett mer algebraiskt sätt att lösa uppgiften på.

Dra bort 1/y från båda sidor av olikheten.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0$

Gör liknämnigt.

$\frac{y - x}{x y} > 0$ (1)

Vi kan nu titta på två olika fall. xy > 0 och xy < 0. Inga andra möjligheter finns.

Fall 1: xy > 0. Dvs vi befinner oss i första eller tredje kvadranten i ett xy-plan.

Multiplicera båda sidor av olikheten (1) med xy.

$x y \cdot \frac{y - x}{x y} > x y \cdot 0$

Förenkla.

$y - x > 0$

Lägg till x på båda sidor av olikheten.

$y > x$

Slutsats: i första och tredje kvadranten är olikheten uppfylld då y < x.

Fall 2: xy < 0. Det vill säga vi befinner oss i andra och fjärde kvadranten i ett xy-plan.

Multiplicera båda sidor av (1) med xy. Notera att vi måste byta ”riktning” på olikheten eftersom vi i detta fall multiplicerar med negativt tal.

$x y \cdot \frac{y - x}{x y} < x y \cdot 0$

Förenkla.

$y - x < 0$

Lägg till x på båda sidor.

$y < x$

Slutsats: i andra och tredje kvadranten är olikheten uppfylld om y < x.

Vi ser att (a) och (b) inte kan gälla generellt eftersom det beror på i vilken kvadrant (x, y) ligger om x < y eller x > y uppfyller olikheten.

Lösningarna till xy > 1 ligger alla i första eller tredje kvadranten. Men vi såg att vår olikhet även har lösningar i andra och fjärde kvadranten. (c) kan inte vara rätt.

Således är (d) rätt svar.

Mohammad Abdalla skrev:
Du har förklarat lite bättre än vad du gjorde i inlägg #1, men i fjärde raden i tabellen hur är det sant när x=-2 och y =-3?

Sen skrev du "Till exempel är x>y sant för första (-4,-2)", vilket inte stämmer.

Tabellen du gjorde är ganska bra för att du ska förstå hur olikheten fungerar i olika värden av x och y. Men jag tycker att du behöver koppla tabellen till uppgiften genom att lägga till tre kolumner efter de två första du hade,så kolumn tre ska vara (x<y), och kolumn fyra (x>y) och kolumn fem (xy>1) och sen kolumn sex ( $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ).

Sen ska du välja värden på x och y som är sant på kolumn tre men falsk i kolumn 6, då har du visat att a) inte stämmer.

Sen ska du välja värden på x och y som är sant på kolumn fyra men falsk i kolumn 6, då har du visat att b) inte stämmer.

Sen ska du välja värden på x och y som är sant på kolumn fem men falsk i kolumn 6, då har du visat att c) inte stämmer.

Vilket betyder att det räcker att tabellen ska ha tre rader.

I sista meningen du skrev saknas en fortsättning i form av att det paret du valt inte uppfyller olikheten ( $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ), vilket betyder att b) inte är sant.

Du får gärna skriva tillbaka om du inte hänger med.

Tack för din återkoppling. Här är en bättre teckentabell baserat på dina förslag:

Så vi kan deducera ifrån detta att (d) måste vara den enda rätta svarsalternativet?

Stämmer bra.

Svara Avbryt

Visa senaste svar