Mafy 2016 uppgift 9

Ja, det är rätt tänkt.

Om vi ska vara petiga så gäller det endast om a $\neq$ 0.

Om vi t.ex. har att a = b = 0 och c = -1 så gäller ax²+bx+c = -1 < 0 för alla reella x, men då gäller att b²-4ac = 0.

Yngve skrev:

Om vi ska vara petiga så gäller det endast om a $\neq$ 0.

Om vi t.ex. har att a = b = 0 och c = -1 så gäller ax²+bx+c = -1 < 0 för alla reella x, men då gäller alternativ (b), dvs b²-4ac = 0

Jag tror ej jag förstår ditt exempel nu. Du valde att a=b=0 och c=-1  och sen skrivet du att alternativ b gäller och jag förstår ej varför.. 

Förlåt vad är det som gäller när a är skilt från 0?

destiny99 skrev:

Jag tror ej jag förstår ditt exempel nu. Du valde att a=b=0 och c=-1  och sen skrivet du att alternativ b gäller och jag förstår ej varför.. 

Om a = 0, b = 0 och c = -1 så är ju ax²+bx+c = 0•x²+0•x-1 = 0+0-1 = -1, dvs det är < 0, då första villkoret är uppfyllt.

Men då är b²-4ac = 0²-4•0•(-1) = 0-0 = 0.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag tror ej jag förstår ditt exempel nu. Du valde att a=b=0 och c=-1  och sen skrivet du att alternativ b gäller och jag förstår ej varför.. 

Om a = 0, b = 0 och c = -1 så är ju ax²+bx+c = 0•x²+0•x-1 = 0+0-1 = -1, dvs det är < 0, då första villkoret är uppfyllt.

Men då är b²-4ac = 0²-4•0•(-1) = 0-0 = 0.

Yes första villkoret är uppfylld för detta exempel och man måste se vilka av alternativen som stämmer med villkoret? Vi har även testat det alternativ b) och det stämmer ej med villkoret? 

$a=b=0$ är ett motexempel.

Rätt svar på uppgiften är d)

Vi kan inte uttala oss om $b^2-4ac$, det kan t.ex. vara 0 eller något annat.

D4NIEL skrev:

$a=b=0$ är ett motexempel.

Rätt svar på uppgiften är d)

Vi kan inte uttala oss om $b^2-4ac$, det kan t.ex. vara 0 eller något annat.

Okej vad innebär en motexempel?  Det exempel du gav hade lika gärna vara vad som helst tex a=b=2 osv så fattar ej vad du försöker säga med motexempel. Och hur kan man se att just D är det korrekta så som du resonerar? 

För att kunna säga att $ax^2+bx+c<>$ ska implicera något måste implikationen gälla för alla de  alla val av $a,b,c$ som uppfyller $ax^2+bx+c<>$ 

Valet $a=b=0$ samt $c=-1$ uppfyller $ax^2+bx+c<>$  och ger $b^2-4ac=0$

Valet $a=-1, b=0,c=-1$ uppfyller $ax^2+bx+c<>$  men ger $b^2-4ac<>$

destiny99 skrev:

Yes första villkoret är uppfylld för detta exempel och man måste se vilka av alternativen som stämmer med villkoret? Vi har även testat det alternativ b) och det stämmer ej med villkoret? 

Just det.

Min poäng är att om vi förutsätter att a $\neq$ 0 så är ditt första svar rätt, dvs alternativ (a).

Men om vi även tillåter möjligheten att a = 0 så är rätt svar alternativ (d) eftersom det då finns en möjlighet att diskriminanten kan vara = 0.

Vi får inte förutsätta att $a\neq 0$

Förlåt men jag förstår fortfarande ej hur alternativ b stämmer med villkoret daniel? 

Du menar varför funktionen $-x^2-1<>$ för alla x?

D4NIEL skrev:

Du menar varför funktionen $-x^2-1<>$ för alla x?

Nej. Jag är ej med på hela exemplet tror jag. 

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Yes första villkoret är uppfylld för detta exempel och man måste se vilka av alternativen som stämmer med villkoret? Vi har även testat det alternativ b) och det stämmer ej med villkoret? 

Just det.

Min poäng är att om vi förutsätter att a $\neq$ 0 så är ditt första svar rätt, dvs alternativ (a).

Men om vi även tillåter möjligheten att a = 0 så är rätt svar alternativ (d) eftersom det då finns en möjlighet att diskriminanten kan vara = 0.

Möjlighet att diskriminanten kan vara 0, hur kommer man fram till det när man valt just alternativ D? Vilka värden har man testat med för att komma fram till att alla andra stämmer ej men D stämmer? 

Det kan hända att du behöver repetera vad implikation betyder.

$f(x)<0 \rightarrow=""><>$ Innebär att om $f(x)<>$ så MÅSTE $b^2-4ac<>$.

Det får inte finnas några val av konstanterna $a,b,c$ så att $f(x)<>$ samtidigt som $b^2-4ac\geq0$. Kan du hitta ett sådant motexempel är svarsalternativ a) fel.

Ett sådant motexempel är $a=b=0,c=-1$

$f(x)<0 \rightarrow="" b^2-4ac="">$ Innebär att om $f(x)<>$ så MÅSTE $b^2-4ac=0$.

Det får inte finnas några val av konstanterna $a,b,c$ så att $f(x)<>$ samtidigt som $b^2-4ac\neq 0$. Kan du hitta ett sådant motexempel är svarsalternativ b) fel.

Ett sådant motexempel är $a=-1,b=0,c=-1$.

D4NIEL skrev:

Det kan hända att du behöver repetera vad implikation betyder.

$f(x)<0 \rightarrow=""><>$ Innebär att om $f(x)<>$ så MÅSTE $b^2-4ac<>$.

Det får inte finnas några val av konstanterna $a,b,c$ så att $f(x)<>$ samtidigt som $b^2-4ac\geq0$. Kan du hitta ett sådant motexempel är svarsalternativ a) fel.

Jag vet vad implikation innebär i det här fallet. Jag får ta med mig uppgiften till en räknestuga tror jag fysiskt. Då kan man prata med varandra och peka osv. Kan bli lite missförstånd  att förstå detta online. Såna uppgifter kanske jag undviker att göra inlägg om framöver då jag upplever man behöver sitta face to face och snacka om det. Tack för hjälpen så länge! 

D4NIEL skrev:

Det kan hända att du behöver repetera vad implikation betyder.

$f(x)<0 \rightarrow=""></0><>$ Innebär att om $f(x)<>$ så MÅSTE $b^2-4ac<>$.

Det får inte finnas några val av konstanterna $a,b,c$ så att $f(x)<>$ samtidigt som $b^2-4ac\geq0$. Kan du hitta ett sådant motexempel är svarsalternativ a) fel.

Ett sådant motexempel är $a=b=0,c=-1$

 

$f(x)<0 \rightarrow="" b^2-4ac=""></0>$ Innebär att om $f(x)<>$ så MÅSTE $b^2-4ac=0$.

Det får inte finnas några val av konstanterna $a,b,c$ så att $f(x)<>$ samtidigt som $b^2-4ac\neq 0$. Kan du hitta ett sådant motexempel är svarsalternativ b) fel.

Ett sådant motexempel är $a=-1,b=0,c=-1$.

Jag är verkligen ej med på motexempel som du ger. Är a =b=-1?

Men vad säger villkoret? 

För att visa att svarsalternativ b) inte stämmer gör vi följande

Antag att $a=-1$, $b=0$ och $c=-1$. Det innebär att vi har funktionen

$f(x)=-x^2-1$

Funktionen är alltid mindre än 0

$f(x)<0$

Enligt svarsalternativ b) har vi implikationen

$f(x)<0\Rightarrow b^2-4ac=0$

Alltså ska $b^2-4ac=0$ men när vi sätter in våra värden på $a,b,c$ får vi

$0^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)=-4$

Alltså $b^2-4ac<0$

Vi har visat att svarsalternativ b) inte kan stämma. $f(x)<0$ implicerade inte $b^2-4ac=0$

Är du med på det?

D4NIEL skrev:

För att visa att svarsalternativ b) inte stämmer gör vi följande

Antag att $a=-1$, $b=0$ och $c=-1$. Det innebär att vi har funktionen

$f(x)=-x^2-1$

Funktionen är alltid mindre än 0

$f(x)<>$

Enligt svarsalternativ b) har vi implikationen

$f(x)<0\rightarrow b^2-4ac="">$

Alltså ska $b^2-4ac=0$ men när vi sätter in våra värden på $a,b,c$ får vi

$0^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)=-4$

Alltså $b^2-4ac<>$

Vi har visat att svarsalternativ b) inte kan stämma. $f(x)<>$ implicerade inte $b^2-4ac=0$

Är du med på det?

Så även a och c stämmer ej heller för att b) ej stämmer också? Känns som att exemplet är mer för b men ej a eller c eller d. Vet ej om jag förstod dig rätt, men villkoret uppfyller ej b då med ditt exempel på a, c och b? 

destiny99 skrev:

Känns som att exemplet är mer för b men ej a eller c eller d. Vet ej om jag förstod dig rätt, men villkoret uppfyller ej b då med ditt exempel på a, c och b

Ja, motexemplet bevisade att svarsalternativ b) inte är korrekt.

Men samma exempel kan användas för att motbevisa svarsalternativ c). Så här

$f(x)=-x^2-1<>$

Svarsalternativ c) hävdar att

$f(x)<0\rightarrow b^2-4ac="">0$

Men $b^2-4ac=-4$ i vårt motexempel. Alltså är svarsalternativ c) felaktigt.

För svarsalternativ a) behöver vi använda ett annat motexempel för att visa att implikationen inte gäller för alla tänkbara $a,b,c$. Där låter vi

$f(x)=-1$

Då är $b^2-4ac=0$ men a) hävdar att

$f(x)<0\rightarrow><>$, vilket tydligen inte stämmer för alla tänkbara $a,b,c$

Alltså gäller svarsalternativ d).

$f(x)<>$ implicerar varken $b^2-4ac=0$, $b^2-4ac<>$ eller $b^2-4ac>0$.

D4NIEL skrev:

destiny99 skrev:

Känns som att exemplet är mer för b men ej a eller c eller d. Vet ej om jag förstod dig rätt, men villkoret uppfyller ej b då med ditt exempel på a, c och b

Ja, motexemplet bevisade att svarsalternativ b) inte är korrekt.

Men samma exempel kan användas för att motbevisa svarsalternativ c). Så här

$f(x)=-x^2-1<>$

Svarsalternativ c) hävdar att

$f(x)<0\rightarrow b^2-4ac="">0$

Men $b^2-4ac=-4$ i vårt motexempel. Alltså är svarsalternativ c) felaktigt.

För svarsalternativ a) behöver vi använda ett annat motexempel för att visa att implikationen inte gäller för alla tänkbara $a,b,c$. Där låter vi

$f(x)=-1$

Då är $b^2-4ac=0$ men a) hävdar att

$f(x)<0\rightarrow><>$, vilket tydligen inte stämmer för alla tänkbara $a,b,c$

Alltså gäller svarsalternativ d).

$f(x)<>$ implicerar varken $b^2-4ac=0$, $b^2-4ac<>$ eller $b^2-4ac>0$.

Så jag kan hitta på ett exempel som uppfyller alla 4 alternativ? Jag kan hitta för a), b), c) och även d) 

Tex a=b=0 och c=1

a=b=-1 och c=1?

Jag tror du tänker fel när du säger "uppfyllt".  För att en implikation ska vara sann måste konsekventen vara sann om villkoret $ax^2+bx+c<0$ är sant.

De tre påstådda implikationerna är ömsesidigt uteslutande.

Det reella talet $b^2-4ac$ kan inte både vara negativt, 0 och positivt samtidigt.

Om något av alternativen a), b) och c) är sant så måste de övriga två vara falska.

För att en implikation ska vara sann måste den gälla för alla värden på $a,b,c$ som uppfyller

$ax^2+bx+c<0$

Det räcker inte att den gäller för några särskilda värden på $a,b,c$

Vi har med två motexempel visat att $b^2-4ac$ kan anta värdena $-4$ och $0$. Detta betyder att inget av alternativen a), b) eller c) kan gälla.

D4NIEL skrev:

Jag tror du tänker fel när du säger "uppfyllt".  För att en implikation ska vara sann måste konsekventen vara sann om villkoret $ax^2+bx+c<>$ är sant.

De tre påstådda implikationerna är ömsesidigt uteslutande.

Det reella talet $b^2-4ac$ kan inte både vara negativt, 0 och positivt samtidigt.

Om något av alternativen a), b) och c) är sant så måste de övriga två vara falska.

För att en implikation ska vara sann måste den gälla för alla värden på $a,b,c$ som uppfyller

$ax^2+bx+c<>$

Det räcker inte att den gäller för några särskilda värden på $a,b,c$

Vi har med två motexempel visat att $b^2-4ac$ kan anta värdena $-4$ och $0$. Detta betyder att inget av alternativen a), b) eller c) kan gälla.

Hur ska man tänka då om mitt sätt att tänka är fel i denna uppgift ? Det brukar vara så att man prövar med olika värden för att eliminera alternativen. 

Jag tror att du tänker så här:

Om $a=-1$ och $b=0$ och $c=-1$ så är

$ax^2+bx+c=-x^2-1<>$ och $b^2-4ac=-4<>$

Alltså är alternativ a) "uppfyllt"

Men det alternativ a) säger är att

$x^2+bx+c<0 \rightarrow=""><>$

Vilket är något helt annat. Nämligen att för alla $a,b,c$ som uppfyller $x^2+bx+c<>$ så ska $(b^2-4ac)<>$.

På den här uppgiften tycker jag att du ska hitta två enkla motexempel för att visa att alternativ a)-c) inte kan gälla, alltså måste d) vara rätt svar.

D4NIEL skrev:

Jag tror att du tänker så här:

Om $a=-1$ och $b=0$ och $c=-1$ så är

$ax^2+bx+c=-x^2-1<>$ och $b^2-4ac=-4<>$

Alltså är alternativ a) "uppfyllt"

Men det alternativ a) säger är att

$x^2+bx+c<0 \rightarrow=""><>$

Vilket är något helt annat. Nämligen att för alla $a,b,c$ som uppfyller $x^2+bx+c<>$ så ska (b^2-4ac)<0$$.

Okej, jag kommer tyvärr på någon motexempel förutom att a=b=0 och c=-1 och a=b=-1 och c=1. Kan jag använda dem för hitta att a-c ej gäller? 

destiny99 skrev:

Okej, jag kommer tyvärr på någon motexempel förutom att a=b=0 och c=-1 och a=b=-1 och c=1. Kan jag använda dem för hitta att a-c ej gäller?

Du får använda vilka exempel du vill. Det finns oändligt många motexempel, välj två som är enkla att räkna på och som inte ger samma värde/tecken på $b^2-4ac$

D4NIEL skrev:

destiny99 skrev:

 

Okej, jag kommer tyvärr på någon motexempel förutom att a=b=0 och c=-1 och a=b=-1 och c=1. Kan jag använda dem för hitta att a-c ej gäller?

Du får använda vilka exempel du vill. Det finns oändligt många motexempel, välj två som är enkla att räkna på och som inte ger samma värde på $b^2-4ac$

Men varför just motexempel?  Vad innebär motexempel? Jag hänger ej med på detta begrepp. 

Anta att implikationen är korrekt. För svarsalternativ a) innebär det

$ax^2+bx+c<0\Rightarrow (b^2-4ac)<0$

Se om du kan hitta några värden på $a,b,c$ för vilka $ax^2+bx+c<0$ men som ger $(b^2-4ac)\geq 0$, dvs som motsäger implikationen.

Om du hittar ett sådant exempel var ju påståendet $ax^2+bx+c<0\Rightarrow (b^2-4ac)<0$ felaktigt.

destiny99 skrev:

Vad innebär motexempel? Jag hänger ej med på detta begrepp. 

Exempel på vad ett motexempel är:

Påstående: Alla tärningar har 6 sidor.

Men det finns tärningar med annat antal sidor, t.ex. T4 har endast 4 sidor.

Då är T4 ett motexempel som visar att påståendet ovan inte är sant.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Vad innebär motexempel? Jag hänger ej med på detta begrepp. 

Exempel på vad ett motexempel är:

Påstående: Alla tärningar har 6 sidor.

Men det finns tärningar med annat antal sidor, t.ex. T4 har endast 4 sidor.

Då är T4 ett motexempel som visar att påståendet ovan inte är sant.

Ah okej jag var på räknestuga och de förklarade uppgiften på annat sätt så jag förstår nu bättre.