Mafy 2018 Uppgift 18

Jag skulle förlänga bråket med nämnarens konjugat.

Laguna skrev:

Jag skulle förlänga bråket med nämnarens konjugat.

$\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}}$

$= \sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})^2}{2}} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{4-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2}{2}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{2}} \Leftrightarrow \sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Du behöver inte först kvadrera när du sen ska ta kvadratroten.

Laguna skrev:

Du behöver inte först kvadrera när du sen ska ta kvadratroten.

Menar du att man ska skriva roten ur $\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ som $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$, och sedan förenkla roten genom att multiplicera både täljare och nämnare med konjugatet av nämnaren (dvs. $2-\sqrt{2}$)?

Jag vet inte hur detta är lättare att förenkla, kan du visa?

$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Nej, du har $(2-\sqrt{2})^2$ innanför kvadratroten. Det blir helt enkelt $2-\sqrt{2}$.

För att förtydliga, om vi följer Lagunas tips så erhåller vi:

$\dfrac{\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})}$.

Du får en kvadrat i nämnaren, om du expanderar så kan vi inte längre förenkla och du får det grisiga uttrycket du hade ovan.

Nu kan du utesluta ett alternativ, vilket?

Dracaena skrev:

För att förtydliga, om vi följer Lagunas tips så erhåller vi:

$\dfrac{\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})}$.

Du får en kvadrat i nämnaren, om du expanderar så kan vi inte längre förenkla och du får det grisiga uttrycket du hade ovan.

Nu kan du utesluta ett alternativ, vilket?

Tänker att lösningen ser ut såhär:

$\sqrt{\frac{2-\sqrt{2} }{2+\sqrt{2} } } =\sqrt{\frac{\left( 2-\sqrt{2} \right) \left( 2-\sqrt{2} \right) }{\left( 2+\sqrt{2} \right) \left( 2-\sqrt{2} \right) } } =\frac{2-\sqrt{2} }{\sqrt{4-2} } =\frac{2-\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\sqrt{2} -1$

Till min ursprungliga fråga: 

Jag undrar om det är snabbast att förenkla uttrycket eller om det är lättare att räkna ut vad tangensvärdet blir när man tar de olika argumenten.

Vi har fått det förenklade uttrycket, men sen behöver vi veta vad tangensvärdet blir för de olika alternativen. Det är inget negativt tal iaf.

Något i den här stilen tänker jag… problemet är att jag endast vet de trigonometriska värdena för "speciella vinklar", dvs [0, π/2].

Bra! 

Nu har du förenklat bråket. Det är första steget. 

a) kan vi direkt stryka, eller hur? 

Angående b, använda halva vinkeln för tangens. 

$\tan (\dfrac{\theta}{2}) = \dfrac{1- \cos \theta}{\sin \theta}$

Dracaena skrev:

Bra! 

Nu har du förenklat bråket. Det är första steget. 

a) kan vi direkt stryka, eller hur? 

Angående b, använda halva vinkeln för tangens. 

$\tan (\dfrac{\theta}{2}) = \dfrac{1- \cos \theta}{\sin \theta}$

Finns det ett annat sätt att räkna ut tangensvärdet utan att använda halva vinkeln? Mer för att jag inte är en fena på att minnas alla formler i trigonometrin, och vill helst gärna ta den lättaste vägen (om det finns någon sån?)

Jag förstår! Det är inte så jätte roligt att behöva memorera formel efter formel men det är oftast det bästa sättet.

Jag kommer inte på ett smidigt sätt förutom halva eller dubbla- vinkeln för tangens. Jag återkommer om jag kommer på något.

Även om man inte kommer ihåg den exakta formeln för dubbla vinkeln bör det inte ta mer än någon minut att härleda den från några formler man faktiskt kan. Och inför ett urvalsprov av det här slaget tror jag man vinner på att se till att åtminstone lära sig de grundläggande trigonometriska formlerna för att minska den kognitiva lasten.

Med det sagt kan man roa sig med att använda en hjälptriangel och bisektrissatsen från Matte 2 istället. Men det bygger på att man kommer ihåg Pythagoras sats och bisektrissatsen.

D4NIEL skrev:

Även om man inte kommer ihåg den exakta formeln för dubbla vinkeln bör det inte ta mer än någon minut att härleda den från några formler man faktiskt kan. Och inför ett urvalsprov av det här slaget tror jag man vinner på att se till att åtminstone lära sig de grundläggande trigonometriska formlerna för att minska den kognitiva lasten.

Med det sagt kan man roa sig med att använda en hjälptriangel och bisektrissatsen från Matte 2 istället. Men det bygger på att man kommer ihåg Pythagoras sats och bisektrissatsen.

Jag förstår inte hur du fick fram $\sqrt{2}+1$ i andra steget.

Den andra ekvationen säger $s=\sqrt 2 \tan(\frac\pi 8)$. Substituerar vi det i den första ekvationen får vi

$s+\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt 2 \tan(\frac{\pi}{8})+\tan(\frac{\pi}{8})=(\sqrt 2+1)\tan(\frac{\pi}{8})=1$