Mafy 2019 Uppgift 30

Hej!

Jag har fastnat på denna matteuppgift, och undrade om någon kan hjälpa mig att lösa den. Uppgiften lyder:

Triangeln $ABC$ är likbent, med $AC=BC$. Vinkeln vid hörnet $C$ är $30^{\circ}$. Triangelns area är $S$ areaenheter. Beräkna och ange triangelns omkrets, uttryckt i termer av $S$.

Jag har försökt lösa uppgiften genom att använda formeln för areasatsen, och sambandet mellan sidorna $AC$ och $BC$:

$\begin{cases}\left| AC\right| = \left| BC\right| &\ \left| AC\right| = a &\ \left| BC\right| =b &\end{cases} \Rightarrow a=b$

$S=\frac{ab\sin \left( 30\right) }{2} \Leftrightarrow \frac{2S}{ab} =\frac{1}{2} \Leftrightarrow 4S=ab\Leftrightarrow S=\frac{a^{2}}{4} \Leftrightarrow \sqrt{4S} =a$

Därefter har jag försökt att använda Pythagoras sats för att hitta den sista sidan $AB$ och därmed triangelns omkrets:

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3} ab} \Leftrightarrow c=\sqrt{a^{2}+a^{2}-\sqrt{3} a^{2}} \Leftrightarrow c=\sqrt{2a^{2}-\sqrt{3} a^{2}} \Leftrightarrow c=\sqrt{a^{2}\left( 2-\sqrt{3} \right) } \Leftrightarrow c=a\sqrt{2-\sqrt{3} }$

Omkretsen kan då beräknas som $a+a+c$ vilket ger:

$\sqrt{4S} +\sqrt{4S} +\sqrt{4S} \sqrt{2-\sqrt{3} } \Leftrightarrow 2\sqrt{4S} +\sqrt{4S} \sqrt{2-\sqrt{3} } \Leftrightarrow \sqrt{4S} \left( 2+\sqrt{2-\sqrt{3} } \right)$

Men jag är inte säker på om det här är rätt och jag undrar om någon kan hjälpa mig att kontrollera min lösning och rätta till eventuella fel. Enligt facit är svaret $2 \sqrt{S}(2+\sqrt{2-\sqrt{3}})$.

Tack på förhand!