MaFy 2021 fråga 13

Hej!

Om man gör beräkningarna på omloppstiderna får man att

$\displaystyle \frac{T}\tau = \sqrt{2\epsilon}$

Härledning av detta

I dubbelstjärnesystemet har vi likheten

$\displaystyle \frac{2mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{R^2}$

(halverad radie i cirkelrörelsen då "mittpunkten" för cirkeln ligger mitt mellan dem)

Då $v = \frac{2\pi\frac R2 }{\tau} = \frac {\pi R} \tau$

Har vi att

$\displaystyle \frac{2m\pi^2 R}{\tau^2} = \frac{Gm^2}{R^2}$

Vilket ger oss att

$\displaystyle \tau = \sqrt{\frac{2R^3\pi^2 }{Gm}} = \pi R \sqrt{\frac{2R}{Gm}}$

För det andra systemet har vi likheten

$\displaystyle \frac{\epsilon mv^2}{R} = \frac{G \frac{m}\epsilon \epsilon m}{R^2} = \frac{G m^2}{R^2}$

Då $v = \frac{2\pi R}T$

Har vi att

$\displaystyle \frac{4\epsilon m\pi^2 R}{T^2} = \frac{G m^2}{R^2}$

Då kan vi lösa ut $T$ som

$\displaystyle T = \sqrt{\frac{4\epsilon R^3 \pi^2}{Gm}} = 2\pi R \sqrt{\frac{\epsilon R}{Gm}}$

Detta ger oss att

$\displaystyle \frac{T}{\tau} = \frac{2\pi R \sqrt{\frac{\epsilon R}{Gm}}}{\pi R \sqrt{\frac{2R}{Gm}}} = \sqrt{2\epsilon}$

Då alternativen undrar storleksförhållandet mellan $\tau$ och $T$ är det relevant att kolla om denna blir större än 1, lika med 1 eller mindre än 1. Vi ser att denna kvot är större än 1 för $\epsilon > \frac 12$ . Därför var min första tanke att svaret är $D$ . Huruvida $T > \tau$ eller inte beror på $\epsilon$ . Däremot är rätt svar $C$ .

Mina tankar varför är då att det står att $\epsilon$ är "mycket mindre" än 1. Jag tycker fortfarande inte det är en tillräckligt god anledning då värdet av "mycket mindre" är subjektivt. Det finns ju inte riktigt någon gräns på vart "mindre" blir till "mycket mindre".

Men jag tänker att om $\epsilon$ var 1/2 eller mer, då skulle det egentligen fortfarande bli någon typ av dubbelstjärnesystem. Jag antar att det bara blir ett "vanligt" (planet runt stjärna) system när den ena massan är mycket mycket mindre än den andra.

En faktor av 4 är egentligen inte särskilt mycket. Det skulle inte bli ett "vanligt" system för ett sådant stort $\epsilon$ . Så om man hade ett sådant stort värde på $\epsilon$ skulle denna ekvation inte vara giltig ändå. Är detta rätt tänkt?

AlexMu skrev:

Mina tankar varför är då att det står att $\epsilon$ är "mycket mindre" än 1. Jag tycker fortfarande inte det är en tillräckligt god anledning då värdet av "mycket mindre" är subjektivt.

Nej det är inte subjektivt. Om $\varepsilon \ll 1$ är epsilon också mycket mindre än 1/2.

Man kan räkna med https://sv.wikipedia.org/wiki/Tvåkropparsproblemet#Reducerad_massa
Vid lika massor är det en reducerad massa $\mu = \dfrac{m^2}{2m} = m/2.$
I det andra fallet har vi den mycket större massan $\mu \approx m/\varepsilon$ och det ger en mycket kortare omloppstid.

Ett annat resonemang börjar med att gravitationskraften mellan dessa båda kroppar är oberoende av $\varepsilon$ . Det ger en större acceleration för den mindre massan när $\varepsilon < 1$ , alltså en snabbare omloppsbana.

Pieter Kuiper skrev:
AlexMu skrev:

Mina tankar varför är då att det står att $\epsilon$ är "mycket mindre" än 1. Jag tycker fortfarande inte det är en tillräckligt god anledning då värdet av "mycket mindre" är subjektivt.

Nej det är inte subjektivt. Om $\varepsilon \ll 1$ är epsilon också mycket mindre än 1/2.

Man kan räkna med https://sv.wikipedia.org/wiki/Tvåkropparsproblemet#Reducerad_massa
Vid lika massor är det en reducerad massa $\mu = \dfrac{m^2}{2m} = m/2.$
I det andra fallet har vi den mycket större massan $\mu \approx m/\varepsilon$ och det ger en mycket kortare omloppstid.

Tack för länken. Jag är dock osäker vad en reducerad massa är. När jag googlade verkar det vara ett sätt att göra om ett problem med två kroppar till en kropp. Jag såg dock inte riktigt hur man räknade på den reducerade massan.

Det jag menar med "subjektivt" är att om exempelvis $\epsilon < 1$ (och positiv) vet vi att $\epsilon \in (0,1)$ , men $\epsilon \ll 1$ säger inte mycket alls om den övre gränsen förutom att den är "liten". Det har jag lite problem med att bortse ifrån.

AlexMu skrev:
Tack för länken. Jag är dock osäker vad en reducerad massa är. När jag googlade verkar det vara ett sätt att göra om ett problem med två kroppar till en kropp. Jag såg dock inte riktigt hur man räknade på den reducerade massan.

I vanlig skolfysik räknar man med rotation kring en fast punkt, men det är det inte, egentligen gör båda kroppar en omloppsbana kring den gemensamma tyngdpunkten. För systemet sol-jord ligger rotationscentrum innanför solen (jag vet inte säkert om det även gäller för sol-Jupiter). För riktigt binära system måste man räkna med reducerad massa och använda samma formler som för en fast punkt, också för att bestämma omloppstid.

Jag undrar egentligen nu om du räknat rätt för när massförhållandet är 4. Då är det en för stor approximation att anta att den tyngre massa står stilla. Jag tror att även då olikheten i svarsalternativ C kan hålla, baserad på båda handwaving resonemang som jag gav.

AlexMu skrev:
Pieter Kuiper skrev:
AlexMu skrev:

Mina tankar varför är då att det står att $\epsilon$ är "mycket mindre" än 1. Jag tycker fortfarande inte det är en tillräckligt god anledning då värdet av "mycket mindre" är subjektivt.

Nej det är inte subjektivt. Om $\varepsilon \ll 1$ är epsilon också mycket mindre än 1/2.

Man kan räkna med https://sv.wikipedia.org/wiki/Tvåkropparsproblemet#Reducerad_massa
Vid lika massor är det en reducerad massa $\mu = \dfrac{m^2}{2m} = m/2.$
I det andra fallet har vi den mycket större massan $\mu \approx m/\varepsilon$ och det ger en mycket kortare omloppstid.

Tack för länken. Jag är dock osäker vad en reducerad massa är. När jag googlade verkar det vara ett sätt att göra om ett problem med två kroppar till en kropp. Jag såg dock inte riktigt hur man räknade på den reducerade massan.

Det jag menar med "subjektivt" är att om exempelvis $\epsilon < 1$ (och positiv) vet vi att $\epsilon \in (0,1)$ , men $\epsilon \ll 1$ säger inte mycket alls om den övre gränsen förutom att den är "liten". Det har jag lite problem med att bortse ifrån.

Om något är $<<1$ innebär det att det är "mycket mindre än 1". Det är en beteckning som inom fysik oftast betyder flera storleksordningar. En storleksordning är en tiopotens.

D4NIEL skrev:
AlexMu skrev:
Pieter Kuiper skrev:
AlexMu skrev:

Mina tankar varför är då att det står att $\epsilon$ är "mycket mindre" än 1. Jag tycker fortfarande inte det är en tillräckligt god anledning då värdet av "mycket mindre" är subjektivt.

Nej det är inte subjektivt. Om $\varepsilon \ll 1$ är epsilon också mycket mindre än 1/2.

Man kan räkna med https://sv.wikipedia.org/wiki/Tvåkropparsproblemet#Reducerad_massa
Vid lika massor är det en reducerad massa $\mu = \dfrac{m^2}{2m} = m/2.$
I det andra fallet har vi den mycket större massan $\mu \approx m/\varepsilon$ och det ger en mycket kortare omloppstid.

Tack för länken. Jag är dock osäker vad en reducerad massa är. När jag googlade verkar det vara ett sätt att göra om ett problem med två kroppar till en kropp. Jag såg dock inte riktigt hur man räknade på den reducerade massan.

Det jag menar med "subjektivt" är att om exempelvis $\epsilon < 1$ (och positiv) vet vi att $\epsilon \in (0,1)$ , men $\epsilon \ll 1$ säger inte mycket alls om den övre gränsen förutom att den är "liten". Det har jag lite problem med att bortse ifrån.

Om något är $<<1$ innebär det att det är "mycket mindre än 1". Det är en beteckning som inom fysik oftast betyder flera storleksordningar. En storleksordning är en tiopotens.

Jo, jag förstår det. Jag tror att jag inte tycker om att det inte finns någon exakt övre gräns på den notationen. För $< 1$ vet man exakt vilken mängd talet kommer ifrån.

Ja, jag tyckte också att det kändes lite flummigt i början. Men sedan förstod jag att huvudpoängen alltså är just det, att det inte är något exakt och väldefinierat samt att det är upp till mig att tolka.

Mycket av fysiken handlar om att fundera över vilka faktorer som behöver räknas med och vilka som kan försummas. Särskilt inom kosmologi måste man ofta nöja sig med att uppskatta eller räkna saker på någon tiopotens när. Men även när du räknar till vardags i gymnasiet använder du approximationer, den kanske vanligaste approximationen är rörelseenergin hos en kropp med massan $m$ som ungefär ges av

$E_k\approx\frac{mv^2}{2}$

Men det gäller bara då $\frac{v}{c}<<1$

Hur stor hastighet som är "tillräckligt liten" beror på sammanhanget, och det är upp till dig som fysiker att bedöma om approximationen är lämplig i det specifika fallet.

På samma sätt syftade uppgiften på provet främst till att förutsäga något om ett system baserat på kunskap om ett annat system, samt att identifiera likheter och skillnader mellan dem. Det viktiga i sådana situationer är att kunna avgöra vilka aspekter som är relevanta, vad som kan försummas, och vilka antaganden eller förenklingar som kan göras för att modellen ska bli hanterlig och ändå meningsfull.

Och i det här fallet var det nog bara för att göra det enklare (mer intuitivt, snabbare) att välja rätt svarsalternativ, utan att behöva fundera över fall som $\varepsilon \approx 0,\!9$ . Men jag tror att svarsalternativ C även gäller där.

Ja, och som generellt tips till MaFy gäller att man oftast kan hitta svaret på flervalsfrågorna genom ett enkelt överslag / enhetsanalys / storleksuppskattning / sunt förnuft. Det är inte tänkt att man ska behöva fundera längre än några minuter på de flesta flervalen.

När $\varepsilon$ går mot $1$ får vi tillbaka vårt ursprungliga dubbelstjärnesystem och omloppstiden för det systemet kan naturligtvis aldrig vara mindre om det inte pågår något annat fuffens.

Och därför är det fysiker och inte matematiker man borde bli.🥰

Svara

Visa senaste svar