Mafy 2021 Uppgift 14

Nä, eftersom accelerationen inte är konstant, så kan du inte förutsätta att accelerationen är konstant.

Har du läst om differentialekvationer i matten?

Försök använda det! (Vad är det generella matematiska sambandet mellan v(t) och x(t)?)

JohanF skrev:

Nä, eftersom accelerationen inte är konstant, så kan du inte förutsätta att accelerationen är konstant.

Har du läst om differentialekvationer i matten?

Försök använda det! (Vad är det generella matematiska sambandet mellan v(t) och x(t)?)

Jag har läst om differentialekvationer lite överskådligt i mattee 5, men tänkte aldrig att matte 5 kunskaper var ett krav för detta prov. Men jag tänker då att man använder sambandet $v=\frac{dx}{dt}$ för att hitta ett samband mellan $x(t)$ och $v(t)$? Då får vi skillnaden över sträcka genom skillnaden över tid. Om jag integrerar $v=v_0\frac{x}{x_0}$ med avseende på tiden $t$ så får jag:

$\int v dt = \int v_0\frac{x}{x_0} dt$

Hur gör man härifrån sen?

$v=\frac{dx}{dt}=\frac{v_0}{x_0}x$, separabel diffekvation

$\frac{dx}{x}=\frac{v_0}{x_0}dt$

${\int }_{x_0}^{x\left(T\right)}\frac{dx}{x}={\int }_0^T\frac{v_0}{x_0}dt$.

Och så vidare.

PATENTERAMERA skrev:

$v=\frac{dx}{dt}=\frac{v_0}{x_0}x$, separabel diffekvation

Om jag förstått det rätt, beskriver detta hur hastigheten på objektet varierar med dess position. Vi kan sedan separera variablerna $x$ och $t$ på varsin sida av likhetstecknet.

$\frac{dx}{x}=\frac{v_0}{x_0}dt$

Man kastar om variablerna i differentialekvationen, så att skillnaden i koordinaten delas med koordinaten, och skillnaden i tid multipliceras med utgångshastigheten och delas sen med x-utgångskoordinaten. 
 

${\int }_{x_0}^{x\left(T\right)}\frac{dx}{x}={\int }_0^T\frac{v_0}{x_0}dt$.

Integrerar båda sidor av likheten över intervallet från x-utgångskoordinaten till x-koordinaten vid tidpunkten T. På vänster sida integreras $\frac{1}{x}$ med avseende på $x$ från $x_0$ till $x(T)$.

Och så vidare.

För den första integralen integrerar vi $\frac{1}{x}$ med avseende på $x$ från $x_0$ till $x(T)$:

$\int_{x_0}^{x(T)} \frac{d x}{x} = \ln\left|\frac{x(T)}{x_0}\right|$

För den andra integralen integrerar vi $\frac{v_0}{x_0}$ med avseende på $t$ från $0$ till $T$:

$\int_0^T \frac{v_0}{x_0} d t = \frac{v_0}{x_0}T$

Hur får vi därifrån sen:

$\frac{x}{x_{0}} =e^{\frac{v_{0}}{x_{0}} T}$?

Dani163 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

$v=\frac{dx}{dt}=\frac{v_0}{x_0}x$, separabel diffekvation

Om jag förstått det rätt, beskriver detta hur hastigheten på objektet varierar med dess position. Vi kan sedan separera variablerna $x$ och $t$ på varsin sida av likhetstecknet.

$\frac{dx}{x}=\frac{v_0}{x_0}dt$

Man kastar om variablerna i differentialekvationen, så att skillnaden i koordinaten delas med koordinaten, och skillnaden i tid multipliceras med utgångshastigheten och delas sen med x-utgångskoordinaten. 
 

${\int }_{x_0}^{x\left(T\right)}\frac{dx}{x}={\int }_0^T\frac{v_0}{x_0}dt$.

Integrerar båda sidor av likheten över intervallet från x-utgångskoordinaten till x-koordinaten vid tidpunkten T. På vänster sida integreras $\frac{1}{x}$ med avseende på $x$ från $x_0$ till $x(T)$.

Och så vidare.

För den första integralen integrerar vi $\frac{1}{x}$ med avseende på $x$ från $x_0$ till $x(T)$:

$\int_{x_0}^{x(T)} \frac{d x}{x} = \ln\left|\frac{x(T)}{x_0}\right|$

För den andra integralen integrerar vi $\frac{v_0}{x_0}$ med avseende på $t$ från $0$ till $T$:

$\int_0^T \frac{v_0}{x_0} d t = \frac{v_0}{x_0}T$

Hur får vi därifrån sen:

$\frac{x}{x_{0}} =e^{\frac{v_{0}}{x_{0}} T}$?

Ja, det där borde nog stämma. Finns det något facit?

Man kan ju också helt enkelt känna igen sambandet

$x^{\text{'}}-\frac{v_0}{x_0}·x=0$

som en homogen differentialekvation av första ordningen som har lösningen

$x\left(t\right)=C·e^{\frac{v_0}{x_0}·t}$

(sätta in i diffekvationen och kontrollera att man tänkt rätt)

Sedan sätta in startvillkoret $x\left(0\right)=x_0$vilket ger

$x\left(t\right)=x_0·e^{\frac{v_0}{x_0}·t}$

och slutligen beräkna $x\left(T\right)$

JohanF skrev:

Man kan ju också helt enkelt känna igen sambandet

$x^{\text{'}}-\frac{v_0}{x_0}·x=0$

En fråga bara, hur härleder du detta samband? Jag tänkte något i stil med

$\frac{dx}{x}=\frac{v_0}{x_0} dt$ 

sen att man multiplicerar båda sidor med x och subtraherar HL ifrån ifrån båda sidor (likställer sen med noll).

Men vad hände då med $dt$?

$x\left(t\right)=x_0·e^{\frac{v_0}{x_0}·t}$

och slutligen beräkna $x\left(T\right)$

Är det att bara ersätta $t$ i $x(t)$ med $T$ då eller? Så vi får:

$x\left( T\right) =x_{0}e^{\frac{v_{0}}{x_{0}} T}$ 

JohanF skrev:

Ja, det där borde nog stämma. Finns det något facit?

Men hur går vi från detta steg i lösningen

$\int_0^T \frac{v_0}{x_0} d t=\frac{v_0}{x_0} T$

till det som står i facit?

Dani163 skrev:

JohanF skrev:

Ja, det där borde nog stämma. Finns det något facit?

Men hur går vi från detta steg i lösningen

$\int_0^T \frac{v_0}{x_0} d t=\frac{v_0}{x_0} T$

till det som står i facit?

Oj, förlåt! jag tänkte inte på att du hade skrivit ett frågetecken i din uträkning. Du hade kommit såpass långt som

$\frac{v_0}{x_0}T=\ln \left(\frac{x\left(T\right)}{x_0}\right)$

eller hur?

Det enda som är kvar sedan är att eliminera ln, dvs

$e^{\frac{v_0}{x_0}T}=e^{\ln \left(\frac{x\left(T\right)}{x_0}\right)}=\frac{x\left(T\right)}{x_0}$

Hänger du med?

JohanF skrev:

Hänger du med?

Ja, tack. 

Har du någon kommentar kring det jag skrev i inlägg #8? (Jag förmodar att dete är så man ska göra.)

Dani163 skrev:

JohanF skrev:

Hänger du med?

Ja, tack. 

Har du någon kommentar kring det jag skrev i inlägg #8? (Jag förmodar att dete är så man ska göra.)

Du kan göra på ena eller andra sättet, men jag tror att det enklaste för dig är att känna igen den som en homogen diffekvation av först ordningen eftersom det är vad ni går igenom i matte5, eller hur?

Titta på sambandet i beskrivs i uppgiften:

$v=v_0\frac{x}{x_0}$

Skriv om det lite, till

$v=\frac{v_0}{x_0}·x$

Sedan vet du ju såklart att det matematiska sambandet mellan $v$och $x$ är $v=x^{\text{'}}$. Alltså

$x^{\text{'}}=\frac{v_0}{x_0}·x$

och sätta $t=T$ i diffekvationens lösning $x\left(t\right)$, precis som du säger.