MAFY 2022 C ofullständig lösning

$$\begin{gathered} Lös olikheten \\ \frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}>\sqrt{\frac{2}{x}} \end{gathered}$$

 

(dvs x kan inte vara 1, -1, 0 och är större än 1) Försökte lösa uppgiften och kom fram till att x>1, genom att först föra över $\sqrt{\frac{2}{x}}$till andra sidan och förlänga så att alla termer hamnar under gemensam nämnare

$\frac{\sqrt{x(x+1)}-\sqrt{x(x-1)}-\sqrt{2(x-1)(x+1)}}{\sqrt{x(x-1)(x+1)}}>0$.

Här insågs det sedan att en omskrivning av täljaren som $\sqrt{x(x+1)}-\sqrt{x-1}(\sqrt{x}-\sqrt{2(x+1)})$ klart antyder att högra termen i vänstra ledet är positiv, alltså kommer olikheten vara sann för alla x (under restriktionen att x>1).

 

Enligt facit gäller dock även att $x<\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ så jag undrar var jag går miste om detta i min lösning (den ser ut för mig att vara ekvivalenser från början till slut)? Jämför gärna med facit