MaFy 2022 fråga 4

Jag har sett på en annan tråd att man ska göra enhetsanalys för att lösa uppgiften, men jag kommer inte fram till svaret sådär snabbt.

Jag ritade upp såhär. Eftersom backen följer funktionen $x = - y$ , så tänker jag att den vertikala sträckan (multiplicerat med -1) och horisontella sträckan måste vara lika stora när bollen landar. då kan man med pythagoras sats skriva ${S^{2}}_{H} + {S^{2}}_{V} = {S^{2}}_{t o t}$ .

Eftersom $S_{H} = - S_{V}$ så kan man ju förenkla till $2 {S^{2}}_{H} = {S^{2}}_{t o t}$ . Räknar man sen ut vad t blir när kast funktionen och backen möts kan man ju sätta in det i ovan stående ekvation för att få sträckan.

Man kan ju direkt utesluta B och D eftersom de inte nämner något om meter. Hur gör man då med A och C? Jag behöver göra den här långa grejen för att kunna komma fram till C. Hur ser den snabba metoden ut?

sigge_ban skrev:
Jag har sett på en annan tråd

https://www.pluggakuten.se/trad/mafy-2022-uppgift-4/

Och uppgiften:
Sträckan ska vara en längd, men v₀/g i svarsalternativ A har dimension tid.

Härledning av uttrycket (enhetsanalys är mycket bättre för att lösa själva uppgiften)

Bollen kastas vinkelrät mot backen. Om vi använder din bild blir det då $45^\circ$ mot $x$ -axeln.
Då får vi att bollens x och y värde beskrivs av funktionerna

$x\left(t\right) = v_0 \cos 45^\circ = \dfrac{v_0 t\sqrt 2}2$
$y\left(t\right) = v_0 \sin 45^\circ - \dfrac{gt^2}2 = \dfrac{v_0 t\sqrt 2 - gt^2}2$

Det kan då se ut såhär:

Där den blåa linjen är bollen och den lila är "marken".

För något tidpunkt $t$ gäller det att $x(t_0) = x_0$ . Då marken lutar 45 grader har är marken då $x_0$ "lägre ned" än den var vid $t=0$ .

Bollen träffar då marken när $y(t_0) - x_0 = 0$ . Alltså ska vi hitta roten till $y(t_0) - x(t_0) = 0$

Detta är en andragradare med rötterna $t_0=0$ och $t_0 = \dfrac{v_02\sqrt 2}g$

Vid denna punkt är ju $x(t_0) = y(t)$

Vi har då:

$\displaystyle s = \sqrt{x(t_{0})^{2}+y(t_{0})^{2}}=\sqrt{2}\cdot x\left(t_{0}\right)=\sqrt{2}\cdot\frac{4v_{0}^{2}}{2g}=\frac{2\sqrt{2}v_{0}^{2}}{g}$

Svara