Mafy 2022 Uppgift 15

Har du kollat om det stämmer?

Skriv enheten W i form av SI-enheter:

1 W = 1 kg•m²/s³

Då får P¹ enheten kg•m²/s³

Och vad får då hela högerledet för enhet?

Yngve skrev:

Har du kollat om det stämmer?

Skriv enheten W i form av SI-enheter:

1 W = 1 kg•m²/s³

Då får P¹ enheten kg•m²/s³

Och vad får då hela högerledet för enhet?

Ja, jag har kontrollerat att det stämmer att $\alpha=1$, $\beta=-1/2$ och $\gamma=-3/2$ genom att använda dimensionsanalys.

För att svara på din andra fråga: Eftersom $P$ har enheten $\text{W}$, vilket enligt SI-systemet är kilogram meter kvadrat per sekund i kubik, kan vi skriva $P$ som $P = 1 \text{ W} = 1 \text{ kg}\cdot \text{m}^2/\text{s}^3$.

Sätter vi in de givna exponenterna för $\alpha, \beta$ och $\gamma$ i uttrycket $M=cP^\alpha L^\beta g^\gamma$ erhåller vi:

$M = cP^\alpha L^\beta g^\gamma = c (1 \text{ kg}\cdot \text{m}^2/\text{s}^3)^1 L^{-1/2} (\text{m/s}^2)^{-3/2}$

Sedan kan vi förenkla enheterna:

$M = c \text{ kg}^{1} \text{m}^{2\cdot1}\text{s}^{-3\cdot1} \text{m}^{-1/2} (\text{m}^{-3/2})$

$M = c \text{ kg} \text{m}^{2} \text{s}^{-3} \text{m}^{-1/2-3/2}$

$M = c \text{ kg} \text{m}^1\text{s}^{-2}$

Därför är enheten för högerledet $\text{kg}\cdot \text{m}^1\cdot \text{s}^{-2}$, vilket är enheten för massa (kg) gånger acceleration (m/s^2) eller Newton (N).

Eller iaf står det i facit att 

$\alpha =1,\ \beta =-\frac{1}{2} ,\ \gamma =-\frac{3}{2}$

Någon som kan utveckla vidare på detta: 

$M=c\left( \frac{1kg\ m^{2}}{s^{3}} \right)^{\alpha } \left( m\right)^{\beta } \left( \frac{m}{s^{2}} \right)^{\gamma }$

Möjligtvis:

För att bestämma värdena på $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$ i uttrycket $M=cP^\alpha L^\beta g^\gamma$ använder vi dimensionsanalys för att matcha enheterna på båda sidor av ekvationen. Vi kan sedan skriva om ekvationen med enheterna för de givna kvantiteterna och sedan jämföra exponenterna på $[M]$, $[L]$ och $[T]$ på båda sidor av ekvationen. Detta leder till ett linjärt ekvationssystem, där vi kan lösa för $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$ genom att använda de tre ekvationerna.

Eftersom massans dimension bara är närvarande i $M$, kan vi säga att exponenten för $M$ i uttrycket måste vara 1, det vill säga $\alpha = 1$. Å andra sidan har vi ingen annan dimension närvarande i uttrycket förutom massan, så dimensionerna för längd och tid måste upphävas i det slutliga uttrycket för $M$. Detta innebär att exponenterna för $L$ och $T$ måste vara noll.

Därför får vi $\beta + \gamma = 0$ och $-2\alpha - 2\gamma = 0$, vilket leder till $\alpha = 1$, $\beta = -1/2$ och $\gamma = -3/2$. Genom att ersätta dessa värden i uttrycket för $M$ får vi $M=cP L^{-\frac{1}{2}} g^{-\frac{3}{2}}$.