mafy 2023 uppgift 16

Om jag gissar att kvoten är 2, då får jag summan 310. Nära men inte tillräckligt.
$\sum_{k = 0}^{y} 5 q^{k} = 320 \Leftrightarrow \frac{5 (q^{y + 1})}{q - 1} = 320$

Jag skulle också kunna tänka mig att vi ska få 320 med en 5:a, det innebär att vi behöver få 64st 5:or vilket i sin tur ger en ny summa
$\sum_{k = 1}^{5} q^{k} = 64 \sum_{k = 1}^{7} q^{k} = 64 \sum_{k = 1}^{?} q^{k} = 64$
Det ger också svåra uttryck att lösa utan miniräknare.

Hur ska man tänka? Ska jag gissa mig fram ?

Det är sista termen som är 320, inte summan.

q^k är tydligen 64. Man borde kunna komma någonstans därifrån.

Jag skulle nog tänka såhär: Den första termen ( $a\cdot k^0$ ) är 5, och den sista, $a\cdot k^n$ , är 320. Det ger oss ekvationen

$\frac{a \cdot k^{n}}{a \cdot k^{0}} = \frac{320}{5} k^{n} = 64$

Summaformeln för en geometrisk summa med n termer är

$S_{n} = \frac{a \cdot (k^{n + 1} - 1)}{k - 1}$

så där kan vi sätta in de värden vi har:

$215 = \frac{5 \cdot (64 \cdot k - 1)}{k - 1}$

Härifrån kan vi hitta k, och därigenom antalet termer i serien. :)

$5 k^{n - 1} = 320 k^{n - 1} = 64 k^{n - 1} = {(\pm 2)}^{6} I f n = 7 t h e n k = \pm 2$

Det kan vara så att geometriska summan inte finns, så det är värt att undersöka vidare. Observera att då summan är mindre än största termen måste $k < 0$ . Vi prövar först $k = - 2$ .

$s_{n} = a_{0} \frac{k^{n + 1} - 1}{k - 1} = a_{0} \frac{k^{n} k - 1}{k - 1} = = 5 \frac{64 \times - 2 - 1}{- 2 - 1} = 5 \frac{- 129}{- 3} = 5 \times 43 = 215$

V.S.V att geometriska summan finns enligt kriterierna och $n = 7$ .

Svara

Visa senaste svar