Mafy 2023 uppgift 8

Är det inte så att alla tre koefficienterna kan vara icke-reella samtidigt, men att de inte måste vara det?

Laguna skrev:

Är det inte så att alla tre koefficienterna kan vara icke-reella samtidigt, men att de inte måste vara det?

Nejj ag tror inte at alla kan vara icke-reella samtidigt. Har testat lite, så fort du multiplicerar hela roten med i. Då blir vissa bara icke-reella medan andra som redan är det blri reella, det är katt och mus race. Hur? 

Korra skrev:

${\left(z-(a+bi)\right)}^2=z^2-2za-2zbi+a^2-b^2+2abi$

Ekvationen (z-i)² = 0 har en dubbelrot z=i.

Och om man skriver ut den blir det z² - 2iz - 1 = 0. Väl?

Pieter Kuiper skrev:

Korra skrev:

${\left(z-(a+bi)\right)}^2=z^2-2za-2zbi+a^2-b^2+2abi$

Ekvationen (z-i)² = 0 har en dubbelrot z=i.

Och om man skriver ut den blir det z² - 2iz - 1 = 0. Väl?

Är alla 3 koefficienter icke-reella nu? 1, framför z^2 

Hänger inte med nu. 

Korra skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Visa föregående citat

Korra skrev:

${\left(z-(a+bi)\right)}^2=z^2-2za-2zbi+a^2-b^2+2abi$

Ekvationen (z-i)² = 0 har en dubbelrot z=i.

Och om man skriver ut den blir det z² - 2iz - 1 = 0. Väl?

Är alla 3 koefficienter icke-reella nu? 1, framför z^2 

Hänger inte med nu. 

Jag förstår inte frågan, $1 \in \mathbb{R}$.

Med a = 1, b = -2i, c = -1  blir det ekvationen $z^2 - 2iz - 1 = 0 \Leftrightarrow  (z-i)^2=0.$ 

Så endast en koefficient här (b) är icke-reell. Det är ett fall, och det räcker som motexempel på alternativ b så att man kan välja rätt mellan svars alternativen på snabbaste och säkraste sätt.

Edit: du kanske förvirrade dig själv genom att du valde roten $a + bi$ där beteckningarna a och b redan hade använts i uppgiften??

Korra skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Visa föregående citat

Korra skrev:

${\left(z-(a+bi)\right)}^2=z^2-2za-2zbi+a^2-b^2+2abi$

Ekvationen (z-i)² = 0 har en dubbelrot z=i.

Och om man skriver ut den blir det z² - 2iz - 1 = 0. Väl?

Är alla 3 koefficienter icke-reella nu? 1, framför z^2 

Hänger inte med nu. 

Älskar profilbidlennn, kunde dock aldrig se den på svenska elelr hitta den på engelska 

Korra skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Visa föregående citat

Korra skrev:

${\left(z-(a+bi)\right)}^2=z^2-2za-2zbi+a^2-b^2+2abi$

Ekvationen (z-i)² = 0 har en dubbelrot z=i.

Och om man skriver ut den blir det z² - 2iz - 1 = 0. Väl?

Är alla 3 koefficienter icke-reella nu? 1, framför z^2 

Hänger inte med nu. 

Ekvationen $iz^2+(2+i)z+(1-\frac34i) =0$ har dubbelroten $z= -\frac12+i$

Du kan skapa rötter med hjälp av den allmänna lösningen (pq-formeln) och sätta $\pm$-delen till 0.

Jag förtydligar vart jag inte förstår. Djupa kunskaper inom komplexa tal har jag inte. 

* Vi har en ekvation
* Dubbelrot som är icke-reell, jag trodde det var en fördel att skriva uttrycket för generella komplexa tal. a+bi
* Sedan när jag utvecklar dubbelrotens parenteser. Då försöker jag analysera koefficienterna. (Siffrorna framför termerna). 

Min slutsats genom att göra såhär är att: 
a) - Kan stämma
b) - Kan inte stämma
c) - Kan också stämma, stämmer i alla fall jag kan komma på. 

Frågan är då: Varför är a rätt svar när c också är rätt? 

Slutsats c) är falsk.

Ekvationen $iz^2+(2+i)z+(1-\frac{3}{4}i)=0$ har tre komplexa koefficienter och en icke-reell dubbelrot.

Inom matematik krävs en exakt (och ofta ordagrann) tolkning av vad som står. Påståendet "någon av koefficienterna är reell" betyder i det här sammanhanget att minst en av koefficienterna måste vara reell för alla tänkbara ekvationer som har en icke-reell dubbelrot, och vi har därför just visat att c) är felaktigt.

Du kan kanske hitta ekvationer där någon av koefficienterna är reell, men det  betyder inte att _ALLA_ ekvationer nödvändigtvis uppfyller "någon av koefficienterna är reell".

Vi kan alltså inte titta på ekvationen $az^2+bz+c=0$ och genast påstå att någon av koefficienterna är reell bara för att vi fått veta att den har en icke-reell dubbelrot. Det kan vi inte med säkerhet veta!

Är du med?

Edit: Du kanske undrar vad du gjorde fel i ditt eget exempel. Börja med att klargöra för dig själv vad som är koefficienterna a, b och c i ditt exempel, du verkar t.ex. inte ha med någon koefficient a.

D4NIEL skrev:

Slutsats c) är falsk.

Ekvationen $iz^2+(2+i)z+(1-\frac{3}{4}i)=0$ har tre komplexa koefficienter och en icke-reell dubbelrot.

Inom matematik krävs en exakt (och ofta ordagrann) tolkning av vad som står. Påståendet "någon av koefficienterna är reell" betyder i det här sammanhanget att minst en av koefficienterna måste vara reell för alla tänkbara ekvationer som har en icke-reell dubbelrot, och vi har därför just visat att c) är felaktigt.

Du kan kanske hitta ekvationer där någon av koefficienterna är reell, men det  betyder inte att _ALLA_ ekvationer nödvändigtvis uppfyller "någon av koefficienterna är reell".

Vi kan alltså inte titta på ekvationen $az^2+bz+c=0$ och genast påstå att någon av koefficienterna är reell bara för att vi fått veta att den har en icke-reell dubbelrot. Det kan vi inte med säkerhet veta!

Är du med?

Edit: Du kanske undrar vad du gjorde fel i ditt eget exempel. Börja med att klargöra för dig själv vad som är koefficienterna a, b och c i ditt exempel, du verkar t.ex. inte ha med någon koefficient a.

Aa jag hänger med precis. Jag vet inte vart det gick fel i mitt försök. Men tiden är knapp, behöver gå till nästa! Tänker ta för givet att denna uppgift inte kommer på nästa prov hehe :D 

Tack så mycket för kunskapen

Ja, man kan ju alltid chansa :) Men för denna och liknande uppgifter rekommenderar jag att du lär dig sambanden mellan andragradsekvationernas rötter. De ingår i gymnasiekursen och gäller även komplexa ekvationer.

Allmänt gäller för ekvationen $az^2+bz+c=0$ att

$z_1+z_2=-\frac{b}{a}$

$z_1z_2=\frac{c}{a}$

I denna uppgift får man angivet att det är en dubbelrot, dvs $z_1=z_2=z_d$

Då kan man  snabbt lösa ut och erhålla

$z_d=-\frac{b}{2a}$

Man får också sambandet

$b^2=4ac$

D4NIEL skrev:

Ja, man kan ju alltid chansa :) Men för denna och liknande uppgifter rekommenderar jag att du lär dig sambanden mellan andragradsekvationernas rötter. De ingår i gymnasiekursen och gäller även komplexa ekvationer.

Allmänt gäller för ekvationen $az^2+bz+c=0$ att

$z_1+z_2=-\frac{b}{a}$

$z_1z_2=\frac{c}{a}$

I denna uppgift får man angivet att det är en dubbelrot, dvs $z_1=z_2=z_d$

Då kan man  snabbt lösa ut och erhålla

$z_d=-\frac{b}{2a}$

Man får också sambandet

$b^2=4ac$

Tack så mycket, skriver ner det