Mafy 2023 uppgift 9

ax²+bx+c är en andragradsfunktion. Om du ritar upp några andragradsfunktioner. Vilka av dem skulle du då säga har ändligt med punkter som är större än 0? Vad har de gemensamt?

Alternativt kan du skissa graferna för fall (a), fall (b) och fall (c) och se vad du kommer fram till.

Observera dock att a, b, och c inte behöver vara nollskilda, så det kan vara en rät linje eller ett konstant värde vi har att göra med.

Bedinsis skrev:

ax²+bx+c är en andragradsfunktion. Om du ritar upp några andragradsfunktioner. Vilka av dem skulle du då säga har ändligt med punkter som är större än 0? Vad har de gemensamt?

Alternativt kan du skissa graferna för fall (a), fall (b) och fall (c) och se vad du kommer fram till.

Observera dock att a, b, och c inte behöver vara nollskilda, så det kan vara en rät linje eller ett konstant värde vi har att göra med.

Jag ska rita godtyckliga grafer för alla 3 alternativ. Jag vet ej hur du ser att a ,b och c kan vara en rät linje eller konstant värde? Men du har fortfarande ej förklarat vad de menar med "ändligt" tillsammans med många positiva heltalslösningar. 

Om vi skulle lösa ekvationen

x>0

så skulle vi få oändligt med lösningar, eftersom alla värden på x större än noll skulle gå an

osv.

Om vi skulle lösa ekvationen

|x|<1

skulle vi få ändligt med lösningar, eftersom endast x-värden i intervallet [-1, 1] går an.

Bedinsis skrev:

Om vi skulle lösa ekvationen

x>0

så skulle vi få oändligt med lösningar, eftersom alla värden på x större än noll skulle gå an

x	går an?
-1	NEJ
0	NEJ
1	JA
2	JA
3	JA
4	JA

osv.

Om vi skulle lösa ekvationen

|x|<1

skulle vi få ändligt med lösningar, eftersom endast x-värden i intervallet [-1, 1] går an.

Vad är an?

Det andra exemplet förstår jag ej riktigt hur |x|<1 ger oss ändligt med lösningar. Hur kan -1 och 1 räknas med som lösningar? |-1|<1 och |1|<1?

"an" är ett ord i svenska språket, mest använt i frasen "det går an" som betyder "det funkar".

Och jag gjorde lite fel i mina beteckningar, som du säger skall gränsvärdena -1 & 1 ej ingå i intervallet [-1, 1].

Bedinsis skrev:

"an" är ett ord i svenska språk, mest använt i frasen "det går an" som betyder "det funkar".

Och jag gjorde lite fel i mina beteckningar, som du säger skall gränsvärdena -1 & 1 ej ingå i intervallet [-1, 1].

Ah ok då är jag med på ordet. Precis mellan -1 och 1  dvs (-1,1) stämmer |x|<1 om man bara testar de talen. 

Yngve skrev:

Alternativt förslag till lösning

Om

• a > 0 så är vänsterledet ett andragradsuttryck med positiv korfficient framför x²-termen. Det betyder att dess graf är en parabel som ser ut som en glad mun. Oavsett vad b och c har för värden så kommer denna parabel att skjuta iväg mot positiva oändligheten för tillräckligt små och stora x. Alltså finns det oändligt många positiva heltalslösningar till olikheten.
• a < 0 så är vänsterledet ett andragradsuttryck med negativ korfficient framför x²-termen. Det betyder att dess graf är en parabel som ser ut som en ledsen mun. Om denna parabel ligger helt under x-axeln så saknas positiva lösningar över huvud taget.
• a $\neq$ 0 så har vi något av ovanstående fall.

Gällande a>0 hur vet du att parabeln kommer gå upp mot oändligheten för små och stora värden på x? en x^2 kurva har väl 2 lösningar,1 eller inga om ekvationen=0. Hur vet vi att det finns oändligt många positiva heltalslösningar? 

a>0 kan också sakna lösningar och ej korsa x axeln?

Sen nämner du ej att a<0 har positiva lösningar mellan sina nollställen.

destiny99 skrev:

Gällande a>0 hur vet du att parabeln kommer gå upp mot oändligheten för små och stora värden på x?

Det är så en sådan parabel ser ut. Använd ett digitalt ritverktyg för att rita graferna till exempelvis

• y = x²
• y = x²-100
• y = x²-10¹²

Om du zoomar ut tillräckligt mycket ser du att alla dessa grafer sticker iväg uppåt om vi kommer tillräckligt långt bort från y-axeln.

De har därför oändligt många punkter ovanför x-axeln.

Hur vet vi att det finns oändligt många positiva heltalslösningar? 

Ta y = x² som exempel. Olikheten x² > 0 är (bland annat) uppfylld för alla x > 0, vilket inkluderar alla oändligt många heltal som är större än 0. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Ta y = x²-100 som exempel. Olikheten x²-100 > 0 är (bland annat) uppfylld för alla x > 10, vilket inkluderar alla oändligt många positiva heltal som är större än 10. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Ta y = x²-10¹² som exempel. olikheten x²-10¹² > 0 är (bland annat) uppfylld för alla x > 10⁶, vilket inkluderar alla oändligt många positiva heltal som är större än 10⁶. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Och så vidare.

a>0 kan också sakna lösningar och ej korsa x axeln?

Om a > 0 och grafen ej korsar x-axeln så ligger hela grafen ovanför x-axeln och olikheten är då automatiskt uppfylld för alla värden på x, vilket inkluderar alla oändligt många positiva heltal. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Sen nämner du ej att a<0 har positiva lösningar mellan sina nollställen.

Vi kan inte vara säkra på att drt finns någon del av parabeln som ligger ovanför x-axeln.

Exempelvis ligger grafen till -x²-1 helt under x-axeln, vilket gör att olikheten helt lösningar. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

=====

Slutsatsen är att inget av de givna alternativen garanterar att det finns ett ändligt antal heltalslösningar.

Mängden 0 är ett ändligt antal.

Bedinsis skrev:

Mängden 0 är ett ändligt antal.

Jag tolkar påståendet som att det ska finnas positiva heltalslösningar, men att antalet sådana ska vara begränsat. 

Yngve skrev:

Bedinsis skrev:

Mängden 0 är ett ändligt antal.

Jag tolkar påståendet som att det ska finnas positiva heltalslösningar, men att antalet sådana ska vara begränsat. 

Ja det är vad ändligt alltså betyder i det här sammanhanget från uppgiftslydelsen?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Gällande a>0 hur vet du att parabeln kommer gå upp mot oändligheten för små och stora värden på x?

Det är så en sådan parabel ser ut. Använd ett digitalt ritverktyg för att rita graferna till exempelvis

• y = x²
• y = x²-100
• y = x²-10¹²

Om du zoomar ut tillräckligt mycket ser du att alla dessa grafer sticker iväg uppåt om vi kommer tillräckligt långt bort från y-axeln.

De har därför oändligt många punkter ovanför x-axeln.

Hur vet vi att det finns oändligt många positiva heltalslösningar? 

Ta y = x² som exempel. Olikheten x² > 0 är (bland annat) uppfylld för alla x > 0, vilket inkluderar alla oändligt många heltal som är större än 0. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Ta y = x²-100 som exempel. Olikheten x²-100 > 0 är (bland annat) uppfylld för alla x > 10, vilket inkluderar alla oändligt många positiva heltal som är större än 10. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Ta y = x²-10¹² som exempel. olikheten x²-10¹² > 0 är (bland annat) uppfylld för alla x > 10⁶, vilket inkluderar alla oändligt många positiva heltal som är större än 10⁶. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Och så vidare.

a>0 kan också sakna lösningar och ej korsa x axeln?

Om a > 0 och grafen ej korsar x-axeln så ligger hela grafen ovanför x-axeln och olikheten är då automatiskt uppfylld för alla värden på x, vilket inkluderar alla oändligt många positiva heltal. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

Sen nämner du ej att a<0 har positiva lösningar mellan sina nollställen.

Vi kan inte vara säkra på att drt finns någon del av parabeln som ligger ovanför x-axeln.

Exempelvis ligger grafen till -x²-1 helt under x-axeln, vilket gör att olikheten helt lösningar. Då finns det inte ett ändligt antal heltalslösningar.

=====

Slutsatsen är att inget av de givna alternativen garanterar att det finns ett ändligt antal heltalslösningar.

Jag är med på allt utom det här med att a>0 och grafen är ovanför x axeln där det finns oändligt många lösningar. Hur vet man det? Jag ser bara att det saknar lösningar när parabeln ligger ovanför x axeln och nuddar ej x axeln. Jag är ej med exemplet med -x^2-1. Men om vi har en negativ parabel där vi har -x^2+1 så måste vi väl ha positva lösningar mellan nollställen då grafens del  ligger  l x axeln då den skjuts upp i y led medan -x^2-1 hade skjutits upp ned ?

destiny99 skrev:

Jag är med på allt utom det här med att a>0 och grafen är ovanför x axeln där det finns oändligt många lösningar. Hur vet man det? Jag ser bara att det saknar lösningar när parabeln ligger ovanför x axeln och nuddar ej x axeln.

Du blandar ihop det lite grann.

Uppgiften gäller antal heltalslösningar till olikheten ax²+bx+c > 0, inte antalet lösningar till ekvationen ax²+bx+c = 0.

Om vi till exempel har a = 1, b = 0 och c = 1 så lyder olikheten x²+1 > 0.

Är du med på att denna olikhet är uppfylld för alla möjliga värden på x? Är du med på att det betyder att olikheten x²+1 > 0 har oändligt många positiva heltalslösningar?

Dessa ör x = 1. x = 2, x = 3 och så vidare i all oändlighet.

Detta eftersom 1²+1 > 0, 2²+1 > 0, 3²+1 > 0 och så vidare i all oändlighet.

Jag är ej med exemplet med -x^2-1. Men om vi har en negativ parabel där vi har -x^2+1 så måste vi väl ha positva lösningar mellan nollställen då grafens del  ligger  l x axeln då den skjuts upp i y led medan -x^2-1 hade skjutits upp ned ?

Det stämmer att grafen till y = -x²+1 ligger delvis ovanför x-axeln, vilket innebär att olikheten -x²+1 > 0 har lösningar .

Om vi väljer c tillräckligt stort så kommer olikheten även att ha positiva heltalslösningar.

Däremot ligger grafen till y = -x²-1 helt under x-axeln, vilket innebär att olikheten -x²-1 saknar lösningar. Här har vi alltså inga positiva hektalslösningar alls.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag är med på allt utom det här med att a>0 och grafen är ovanför x axeln där det finns oändligt många lösningar. Hur vet man det? Jag ser bara att det saknar lösningar när parabeln ligger ovanför x axeln och nuddar ej x axeln.

Du blandar ihop det lite grann.

Uppgiften gäller antal heltalslösningar till olikheten ax²+bx+c > 0, inte antalet lösningar till ekvationen ax²+bx+c = 0.

Om vi till exempel har a = 1, b = 0 och c = 1 så lyder olikheten x²+1 > 0.

Är du med på att denna olikhet är uppfylld för alla möjliga värden på x? Är du med på att det betyder att olikheten x²+1 > 0 har oändligt många positiva heltalslösningar?

Dessa ör x = 1. x = 2, x = 3 och så vidare i all oändlighet.

Detta eftersom 1²+1 > 0, 2²+1 > 0, 3²+1 > 0 och så vidare i all oändlighet.

Jag är ej med exemplet med -x^2-1. Men om vi har en negativ parabel där vi har -x^2+1 så måste vi väl ha positva lösningar mellan nollställen då grafens del  ligger  l x axeln då den skjuts upp i y led medan -x^2-1 hade skjutits upp ned ?

Det stämmer att grafen till y = -x²+1 ligger delvis ovanför x-axeln, vilket innebär att olikheten -x²+1 > 0 har lösningar .

Om vi väljer c tillräckligt stort så kommer olikheten även att ha positiva heltalslösningar.

Däremot ligger grafen till y = -x²-1 helt under x-axeln, vilket innebär att olikheten -x²-1 saknar lösningar. Här har vi alltså inga positiva hektalslösningar alls.

Ja jag är med på x^2+1>0 har oändligt antal positiva heltalslösningar och skillnaden mellan olikhet och ekvation.  Precis y=-x^2-1 kommer sakna lösningar och har inga positiva heltalslösningar som du säger. Hur vet man att om man väljer c tillräckligt stort så kommer olikheten även ha positiva heltalslösningar? Hur vet du att -x^2+1 >0 har lösningar? 

destiny99 skrev:

Ja jag är med på x^2+1>0 har oändligt antal positiva heltalslösningar och skillnaden mellan olikhet och ekvation. 

OK bra. Det verkade som om du blandade ihop det när du skrev att det saknas lösningar då parabeln ligger helt ovanför x-axeln.

Precis y=-x^2-1 kommer sakna lösningar och har inga positiva heltalslösningar som du säger. Hur vet man att om man väljer c tillräckligt stort så kommer olikheten även ha positiva heltalslösningar?

Konstanten c innebär en vertikal förskjutning av grafen. Ju större c är desto högre upp hamnar grafen. Till slut hamnar åtminstone en del av grafen ovanför x-axeln. Om c är tillräckligt stort så kommer så stor del av grafen att hamna ovanför x-axeln så att olikheten får positiva heltalslösningar.

Som exempel:

• c = -2, dvs y = -x²-2. Grafen ligger helt under x-axeln, olikheten saknar lösningar.
• c = 1, dvs y = -x²+1. Grafen ligger delvis ovanför x-axeln, olikhetens lösningar är -1 < x < 1, men olikheten saknar ändå positiva heltalslösningar.
• c = 4, dvs y = -x²+4. Grafen ligger delvis ovanför x-axeln, olikhetens lösningar är -2 < x < 2 och olikheten har en positiv heltalslösning, nämligen x = 1 .

Hur vet du att -x^2+1 >0 har lösningar? 

-x²+1 > 0 kan skrivas x² < 1. 

Den olikheten är uppfylld för alla x sådana att -1 < x < 1.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja jag är med på x^2+1>0 har oändligt antal positiva heltalslösningar och skillnaden mellan olikhet och ekvation. 

OK bra. Det verkade som om du blandade ihop det när du skrev att det saknas lösningar då parabeln ligger helt ovanför x-axeln.

Precis y=-x^2-1 kommer sakna lösningar och har inga positiva heltalslösningar som du säger. Hur vet man att om man väljer c tillräckligt stort så kommer olikheten även ha positiva heltalslösningar?

Konstanten C innebär en vertikal förskjutning av grafen. Ju större c är desto högre upp hamnar grafen. Till slut hamnar åtminstone en del av grafen ovanför x-axeln. Om c är tillräckligt stort så kommer sp stor del av grafen art hamna ovanför x-axeln så att olikheten får positiva heltalslösningar.

Som exempel:

• c = -2, dvs y = -x²-2. Grafen ligger helt under x-axeln, olikheten saknar lösningar.
• c = 1, dvs y = -x²+1. Grafen ligger delvis ovanflr x-axeln, men omikheten saknar ändå positiva heltalslösningar.
• c = 5, dvs y = -x²+5. Grafen ligger delvis ovanför x-axeln och olikheten har två positiva heltalslösningar, nämligen x = 1 och x = 2.

Hur vet du att -x^2+1 >0 har lösningar? 

-x²+1 > 0 kan skrivas x² < 1. 

Den olikheten är uppfylld för alla x sådana att -1 < x < 1.

Fast när man ritar x^2+1>0 så saknas det ju lösningar om man tänker på den som en ekvation då den har falska rötter samt är ovanför x axeln men som en olikhet så har den lösningar

destiny99 skrev:

Fast när man ritar x^2+1>0 så saknas det ju lösningar om man tänker på den som en ekvation då den har falska rötter samt är ovanför x axeln men som en olikhet så har den lösningar

Du har rätt i att ekvationen x²+1 = 0 saknar (reella) lösningar.

Men det är inte den ekvationen som är intressant utan istället olikheten x²+1 > 0. Den olikheten har oändligt många lösningar.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Fast när man ritar x^2+1>0 så saknas det ju lösningar om man tänker på den som en ekvation då den har falska rötter samt är ovanför x axeln men som en olikhet så har den lösningar

Du har rätt i att ekvationen x²+1 = 0 saknar (reella) lösningar.

Men det är inte den ekvationen som är intressant utan istället olikheten x²+1 > 0. Den olikheten har oändligt många lösningar.

Okej då förstår jag. Den olikheten har alltså oändligt många positiva heltalslösningar eller hur?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja jag är med på x^2+1>0 har oändligt antal positiva heltalslösningar och skillnaden mellan olikhet och ekvation. 

OK bra. Det verkade som om du blandade ihop det när du skrev att det saknas lösningar då parabeln ligger helt ovanför x-axeln.

Precis y=-x^2-1 kommer sakna lösningar och har inga positiva heltalslösningar som du säger. Hur vet man att om man väljer c tillräckligt stort så kommer olikheten även ha positiva heltalslösningar?

Konstanten c innebär en vertikal förskjutning av grafen. Ju större c är desto högre upp hamnar grafen. Till slut hamnar åtminstone en del av grafen ovanför x-axeln. Om c är tillräckligt stort så kommer så stor del av grafen att hamna ovanför x-axeln så att olikheten får positiva heltalslösningar.

Som exempel:

• c = -2, dvs y = -x²-2. Grafen ligger helt under x-axeln, olikheten saknar lösningar.
• c = 1, dvs y = -x²+1. Grafen ligger delvis ovanför x-axeln, olikhetens lösningar är -1 < x < 1, men olikheten saknar ändå positiva heltalslösningar.
• c = 4, dvs y = -x²+4. Grafen ligger delvis ovanför x-axeln, olikhetens lösningar är -2 < x < 2 och olikheten har en positiv heltalslösning, nämligen x = 1 .

Hur vet du att -x^2+1 >0 har lösningar? 

-x²+1 > 0 kan skrivas x² < 1. 

Den olikheten är uppfylld för alla x sådana att -1 < x < 1.

Jag hänger ej med på hur -x^2+1 kan sakna positiva heltalslösningar. Jag menar 0 och 0.5 ger ju positiva lösningar ,men är det för att 0.5 ej är heltal och vi vet ej om 0 är ett heltal? I ditt exempel med c=4 så får vi ett ändligt  heltalslösning  och då innebär det ena gången så är a<0 när vi tog exempel med c=4 och andra gången har vi exempel med x^2-1>0 där vi har oändligt många heltalslösningar då a>0 så det finns inget alternativ som har det exakta svaret med ändliga heltalslösningar. Bara ett eller kanske flera exempel med a<0 uppfyller detta.

destiny99 skrev:

Yngve skrev:

[...]

Men det är inte den ekvationen som är intressant utan istället olikheten x²+1 > 0. Den olikheten har oändligt många lösningar.

Okej då förstår jag. Den olikheten har alltså oändligt många positiva heltalslösningar eller hur?

Ja, det stämmer, nämligen x = 1, x = 2, x = 3 o.s.v.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Visa föregående citat

[...]

Men det är inte den ekvationen som är intressant utan istället olikheten x²+1 > 0. Den olikheten har oändligt många lösningar.

Okej då förstår jag. Den olikheten har alltså oändligt många positiva heltalslösningar eller hur?

Ja, det stämmer, nämligen x = 1, x = 2, x = 3 o.s.v.

Ok

destiny99 skrev:

Jag hänger ej med på hur -x^2+1 kan sakna positiva heltalslösningar. Jag menar 0 och 0.5 ger ju positiva lösningar ,men är det för att 0.5 ej är heltal och vi vet ej om 0 är ett heltal?

Jo, 0 är ett heltal, men inte ett positivt heltal. De positiva heltalen är 1, 2, 3, 4 och så vidare.

I ditt exempel med c=4 så får vi ett ändligt  heltalslösning  och då innebär det ena gången så är a<0 när vi tog exempel med c=4 och andra gången har vi exempel med x^2-1>0 där vi har oändligt många heltalslösningar då a>0 så det finns inget alternativ som har det exakta svaret med ändliga heltalslösningar. Bara ett eller kanske flera exempel med a<0 uppfyller detta.

Jag förstår inte riktigt vad du menar här.

Det jag vill komma fram till är att

• om a > 0 så finns det oändligt många positiva heltalslösningar, oavsett vilka värden b och c har. Detta eftersom parabeln y = ax²+bx+c ligger ovanför x-axeln om bara x är tillräckligt stort. Och att parabeln efter det fortsätter att ligga ovanför x-axeln då x går mot positiva oändligheten. Och att det bland dessa x-värden finns oändligt många positiva heltal.
• om a < 0 så är vi inte säkra på att det ens finns ett enda positivt heltal som är lösning till olikheten.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag hänger ej med på hur -x^2+1 kan sakna positiva heltalslösningar. Jag menar 0 och 0.5 ger ju positiva lösningar ,men är det för att 0.5 ej är heltal och vi vet ej om 0 är ett heltal?

Jo, 0 är ett heltal, men inte ett positivt heltal. De positiva heltalen är 1, 2, 3, 4 och så vidare.

I ditt exempel med c=4 så får vi ett ändligt  heltalslösning  och då innebär det ena gången så är a<0 när vi tog exempel med c=4 och andra gången har vi exempel med x^2-1>0 där vi har oändligt många heltalslösningar då a>0 så det finns inget alternativ som har det exakta svaret med ändliga heltalslösningar. Bara ett eller kanske flera exempel med a<0 uppfyller detta.

Jag förstår inte riktigt vad du menar här.

Det jag vill komma fram till är att

• om a > 0 så finns det oändligt många positiva heltalslösningar, oavsett vilka värden b och c har. Detta eftersom parabeln y = ax²+bx+c ligger ovanför x-axeln om bara x är tillräckligt stort. Och att parabeln efter det fortsätter att ligga ovanför x-axeln då x går mot positiva oändligheten. Och att det bland dessa x-värden finns oändligt många positiva heltal.
• om a < 0 så är vi inte säkra på att det ens finns ett enda positivt heltal som är lösning till olikheten.

Vad är orsaken till att vi ej är säkra på att det finns ändligt många heltalslösningar till a<0? Texten säger ändligt  och ej oändligt. För fallet med a>0 har vi bara att oändligt många heltalslösningar då x kan bli väldigt stort och funktionen kan vara ovanför x axeln ju stort det blir. Men när a<0 och x börjar bli väldigt stort så menar du att vi kommer sakna lösningar och därmed inga ändligt positiva heltalslösningar? Du tog ju upp ett exempel då c=4 så får vi bara en positiv lösning vilket jag tolkar som en ändlig positiv heltalslösning.  Hur vet du att -x^2+1>0 saknar positiva lösningar?

destiny99 skrev:

Vad är orsaken till att vi ej är säkra på att det finns ändligt många heltalslösningar till a<0?

Om a = -1, b = 0 och c = -1 så lyder olikheten -x²-1 > 0. Denna olikhet saknar lösningar. Alltså kan vi inte vara säkra på att det överhuvud taget finns någon positiv heltalslösning om a < 0.

Texten säger ändligt  och ej oändligt. För fallet med a>0 har vi bara att oändligt många heltalslösningar då x kan bli väldigt stort och funktionen kan vara ovanför x axeln ju stort det blir.

Ja det stämmer.

Men när a<0 och x börjar bli väldigt stort så menar du att vi kommer sakna lösningar och därmed inga ändligt positiva heltalslösningar?

Nej, det menar jag inte.

Om a < 0 så kan det finnas positiva heltalslösningar, men vi är inte säkra på att det verkligen finns några sådana.

Exempel a = -1, b = 0, c = -1.

Då lyder olikheten -x²-1 > 0.

Denna olikhet saknar lösningar.

Alltså saknas positiva heltalslösningar i detta fallet.

Om det finns några positiva hrltalslösningar eller inte beror alltså på vilket värde konstanten c har.

Alltså kan vi inte vara säkra på att det överhuvudtaget funns nägra positiva heltalslösningar då a < 0.

Du tog ju upp ett exempel då c=4 så får vi bara en positiv lösning vilket jag tolkar som en ändlig positiv heltalslösning.  Hur vet du att -x^2+1>0 saknar positiva lösningar?

Olikheten -x²+1 > 0 kan skrivas x² < 1.

Denna olikhet har lösningarna -1 < x < 1.

I detta intervall finns endast en heltalslösning, nämligen x = 0. Detta är inte ett positivt heltal.

Därför saknas positiva heltalslösningar om a = -1, b = 0 och c = 1.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Vad är orsaken till att vi ej är säkra på att det finns ändligt många heltalslösningar till a<0?

Om a = -1, b = 0 och c = -1 så lyder olikheten -x²-1 > 0. Denna olikhet saknar lösningar. Alltså kan vi inte vara säkra på att det överhuvud taget finns någon positiv heltalslösning om a < 0.

Texten säger ändligt  och ej oändligt. För fallet med a>0 har vi bara att oändligt många heltalslösningar då x kan bli väldigt stort och funktionen kan vara ovanför x axeln ju stort det blir.

Ja det stämmer.

Men när a<0 och x börjar bli väldigt stort så menar du att vi kommer sakna lösningar och därmed inga ändligt positiva heltalslösningar?

Nej, det menar jag inte.

Om a < 0 så kan det finnas positiva heltalslösningar, men vi är inte säkra på att det verkligen finns några sådana.

Exempel a = -1, b = 0, c = -1.

Då lyder olikheten -x²-1 > 0.

Denna olikhet saknar lösningar.

Alltså saknas positiva heltalslösningar i detta fallet.

Om det finns några positiva hrltalslösningar eller inte beror alltså på vilket värde konstanten c har.

Alltså kan vi inte vara säkra på att det överhuvudtaget funns nägra positiva heltalslösningar då a < 0.

Du tog ju upp ett exempel då c=4 så får vi bara en positiv lösning vilket jag tolkar som en ändlig positiv heltalslösning.  Hur vet du att -x^2+1>0 saknar positiva lösningar?

Olikheten -x²+1 > 0 kan skrivas x² < 1.

Denna olikhet har lösningarna -1 < x < 1.

I detta intervall finns endast en heltalslösning, nämligen x = 0. Detta är inte ett positivt heltal.

Därför saknas positiva heltalslösningar om a = -1, b = 0 och c = 1.

Ok då är jag med.

Bra.

Om vi säger att a = 0, kan du då klura ut vad som måste gälla för b och c för att olikheten ska ha ett ändligt antal positiva heltalslösningar?

Tips: Olikheten blir då bx+c > 0. Laborera nu med några olika räta linjer.

Yngve skrev:

Bra.

Om vi säger att a = 0, kan du då klura ut vad som måste gälla för b och c för att olikheten ska ha ett ändligt antal positiva heltalslösningar?

Tips: Olikheten blir då bx+c > 0. Laborera nu med några olika räta linjer.

Då måste b och c vara positiva och ej negativa. Men vi kommer få en negativ lösning till olikhet om b och c är positiva medan om b och c är negativa kommer vi få en positiv lösning.

Kan du visa med en skiss hur du menar?

Yngve skrev:

Kan du visa med en skiss hur du menar?

Om vi har y1= 2x+1 och y2=-2x-1. Båda är räta linjer

destiny99 skrev:

Om vi har y1= 2x-1 och y2=-2x-1. Båda är räta linjer

Ja det stämmer.

Har någon av olikheterna 2x-1 > 0 eller -2x-1 > 0 ett ändligt antal positiva heltalslösnimgar?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Om vi har y1= 2x-1 och y2=-2x-1. Båda är räta linjer

Ja det stämmer.

Har någon av olikheterna 2x-1 > 0 eller -2x-1 > 0 ett ändligt antal positiva heltalslösnimgar?

Nej eftersom vi får oändligt många positiva heltalslösningar 

Det stämmer att olikheten 2x+1 > 0 har oändligt många positiva heltalslösningar.

Det gäller även att olikheten -2x-1 > 0 saknar positiva heltalslösningar.

Hittar du någon annan kombination av b och c som gör att olikheten bx+c > 0 har ett ändligt antal positiva heltalslösningar?

Yngve skrev:

Det stämmer att olikheten 2x+1 > 0 har oändligt många positiva heltalslösningar.

Det gäller även att olikheten -2x-1 > 0 saknar positiva heltalslösningar.

Hittar du någon annan kombination av b och c som gör att olikheten bx+c > 0 har ett ändligt antal positiva heltalslösningar?

Hur vet vi att det -2x-1>0 saknar positiva heltalslösningar? Vilka har du prövat med? 

Nej jag hittar ingen kombination och den här frågan har dessutom ingenting med inlägget att göra. Jag vet ej varför vi ska undersöka den här frågan.

destiny99 skrev:

Hur vet vi att det -2x-1>0 saknar positiva heltalslösningar? Vilka har du prövat med? 

Algebraiskt: Olikheten -2x-1 > 0 kan skrivas 2x < -1, vilket i sin tur kan skrivas x < -0,5. Det finns alltså inga positiva lösningar alls.

Grafiskt: Linjen y = -2x-1 ligger inte ovanför x-axeln någonstans där x är positivt.

Nej jag hittar ingen kombination och den här frågan har dessutom ingenting med inlägget att göra. Jag vet ej varför vi ska undersöka den här frågan.

Pröva t.ex. med linjen y = -x+4, dvs b = -1 och c = 4. Den ligger ovanför x-axeln i intervallet 0 < x < 4. I detta intervall finns de (ändligt många) positiva heltalen 1, 2 och 3.

Jo, frågan har med uppgiften att göra. Vi behöver visa att olikheten kan ha ett ändligt antal positiva heltalslösningar på andra sätt än att a < 0.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Hur vet vi att det -2x-1>0 saknar positiva heltalslösningar? Vilka har du prövat med? 

Algebraiskt: Olikheten -2x-1 > 0 kan skrivas 2x < -1, vilket i sin tur kan skrivas x < -0,5. Det finns alltså inga positiva lösningar alls.

Grafiskt: Linjen y = -2x-1 ligger inte ovanför x-axeln någonstans där x är positivt.

Nej jag hittar ingen kombination och den här frågan har dessutom ingenting med inlägget att göra. Jag vet ej varför vi ska undersöka den här frågan.

Pröva t.ex. med linjen y = -x+4, dvs b = -1 och c = 4. Den ligger ovanför x-axeln i intervallet 0 < x < 4. I detta intervall finns de (ändligt många) positiva heltalen 1, 2 och 3.

Jo, frågan har med uppgiften att göra. Vi behöver visa att olikheten kan ha ett ändligt antal positiva heltalslösningar på andra sätt än att a < 0.

Okej men jag känner mig klar med uppgiften nu.  Dock hade jag uppskattat ett snabbare sätt att lösa uppgiften på så man minns bättre.   Jag har ej direkt 30 min på mig med såna frågor som jag påpekat förut.

destiny99 skrev:

Okej men jag känner mig klar med uppgiften nu.  Dock hade jag uppskattat ett snabbare sätt att lösa uppgiften på så man minns bättre.   

Jag har ej direkt 30 min på mig med såna frågor som jag påpekat förut.

OK, ett snabbare sättet att lösa uppgiften hade varit att

1. titta på de tre alternativen (a), (b) och (c) och kontatera att de alla hade med koefficienten a att göra.
2. fundera på om det fanns någon möjlighet att inget av de tre alternativen måste gälla, dvs att a = 0.
3. hitta ett exempel på värden för koefficienten b och konstanen c så att olikheten är uppfylld om a = 0 (typ b = -1 och c = 4).
4. dra slutsatsen att inget av alternativen (a), (b) eller (c) då måste gälla

Men jag är tveksam till nyttan av att du lär dig just denna metod för just denna uppgift.

Dessutom verkade det vara så att en del grundläggande samband var oklara för dig, så jag tänkte att det vore bra att försöka bringa klarhet i dem.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Okej men jag känner mig klar med uppgiften nu.  Dock hade jag uppskattat ett snabbare sätt att lösa uppgiften på så man minns bättre.   

Jag har ej direkt 30 min på mig med såna frågor som jag påpekat förut.

OK, ett snabbare sättet att lösa uppgiften hade varit att

1. titta på de tre alternativen (a), (b) och (c) och kontatera att de alla hade med koefficienten a att göra.
2. fundera på om det fanns någon möjlighet att inget av de tre alternativen måste gälla, dvs att a = 0.
3. hitta ett exempel på värden för koefficienten b och konstanen c så att olikheten är uppfylld om a = 0 (typ b = -1 och c = 4).
4. dra slutsatsen att inget av alternativen (a), (b) eller (c) då måste gälla

Men jag är tveksam till nyttan av att du lär dig just denna metod för just denna uppgift.

Dessutom verkade det vara så att en del grundläggande samband var oklara för dig, så jag tänkte att det vore bra att försöka bringa klarhet i dem.

Jaha okej. Ja den här frågan upplevde jag väldigt svårt att på något sätt komma fram till rätt alternativ och komma  på alla de här punkterna du nämner. Jag förstår ju de tidigare exempel som du tog upp även om det tog ett bra tag. Gällande sista exemplet du tog upp så antar jag att du tittade på a=0 för en av alternativet säger ju att a inte får vara lika med 0. Så det innebär att a>0 och a=0 hade kunnat vara rätt svar ? Men även a>0 är ej rätt eftersom då är vi inne på oändligt många positiva lösningar och ej ändliga som fallet med a=0. Du valde b=-1 och c=4 men vad händer om man väljer b=1 och c=-4? Då hade vi varit inne på oändligt många heltalösningar?

Endast ett svarsalternativ ska anges som "svar" på frågorna 1-20 på provet.

Men svarsalternativ a) kan inte vara korrekt utan att b) också är korrekt. Detsamma gäller svarsalternativ c). På samma sätt måste antingen a) eller c) vara korrekt för att b) ska vara korrekt.

Eftersom bara ett svarsalternativ är tillåtet måste svaret därmed vara  d).

D4NIEL skrev:

Endast ett svarsalternativ ska anges som "svar" på frågorna 1-20 på provet.

Men svarsalternativ a) kan inte vara korrekt utan att b) också är korrekt. Detsamma gäller svarsalternativ c). På samma sätt måste antingen a) eller c) vara korrekt för att b) ska vara korrekt.

Eftersom bara ett svarsalternativ är tillåtet måste svaret därmed vara  d).

jag förstår ej. Kan man ej bara tänka att a) är ej korrekt detsamma för b) och c) ? b) är ej ens korrekt för det står a skilt från 0 så den tittar vi ej ens på. Det skulle vara en annan sak om det stod a=0 på b) alternativet. Jag brukar bara tänka att a) gäller ej  och c gäller ej heller enligt villkoret med ändligt många positiva heltalslösningar som uppgiften säger. Det är i alla fall så jag brukar tänka.

destiny99 skrev:

jag förstår ej. Kan man ej bara tänka att a) är ej korrekt detsamma för b) och c) ? b) är ej ens korrekt för det står a skilt från 0 så den tittar vi ej ens på. Det skulle vara en annan sak om det stod a=0 på b) alternativet. Jag brukar bara tänka att a) gäller ej  och c gäller ej heller enligt villkoret med ändligt många positiva heltalslösningar som uppgiften säger. Det är i alla fall så jag brukar tänka.

D4NIELs metod är den enklaste och snabbaste hittills.

Den tar en genväg förbi den krångliga grunden om olikheten och ändligt antal positiva heltalsrötter och tar istället direkt sikte på regelverket kring själva provet, nämligen att det endast ska vara ett möjligt svar på uppgiften.

Jag försöker förklara:

• Är du med på att om alternativ (a) vore korrekt (dvs om a > 0) så skulle även alternativ (b) vara korrekt, eftersom a > 0 medför att a $\neq$ 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?
• Är du med på att om alternativ (c) vore korrekt (dvs om a < 0) så skulle även alternativ (b) vara korrekt, eftersom a < 0 medför att a $\neq$ 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?
• Är du med på att om alternativ (b) vore korrekt (dvs om a $\neq$ 0) så skulle även antingen alternativ (a) eller alternativ (c) vara korrekt, eftersom a $\neq$ 0 medför antingen att a > 0 eller att a < 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?

Alltså kan svaret varken vara (a), (b) eller (c).

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

jag förstår ej. Kan man ej bara tänka att a) är ej korrekt detsamma för b) och c) ? b) är ej ens korrekt för det står a skilt från 0 så den tittar vi ej ens på. Det skulle vara en annan sak om det stod a=0 på b) alternativet. Jag brukar bara tänka att a) gäller ej  och c gäller ej heller enligt villkoret med ändligt många positiva heltalslösningar som uppgiften säger. Det är i alla fall så jag brukar tänka.

D4NIELs metod är den enklaste och snabbaste hittills.

Den tar en genväg förbi den krångliga grunden om olikheten och ändligt antal positiva heltalsrötter och tar istället direkt sikte på regelverket kring själva provet, nämligen att det endast ska vara ett möjligt svar på uppgiften.

Jag försöker förklara:

• Är du med på att om alternativ (a) vore korrekt (dvs om a > 0) så skulle även alternativ (b) vara korrekt, eftersom a > 0 medför att a $\neq$ 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?
• Är du med på att om alternativ (c) vore korrekt (dvs om a < 0) så skulle även alternativ (b) vara korrekt, eftersom a < 0 medför att a $\neq$ 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?
• Är du med på att om alternativ (b) vore korrekt (dvs om a $\neq$ 0) så skulle även antingen alternativ (a) eller alternativ (c) vara korrekt, eftersom a $\neq$ 0 medför antingen att a > 0 eller att a < 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?

Alltså kan svaret varken vara (a), (b) eller (c).

Jaha okej ja jag är med på alla punkter så det hade totalt funnits 6 möjliga svar ?  Väljer man a) så är även b) korrekt och samma sak med c)och  för b) är det antingen a) eller c). Ja det är ett snabbare sätt att välja.

destiny99 skrev:

Jaha okej ja jag är med på alla punkter så det hade totalt funnits 6 möjliga svar ? 

Jag förstår inte vilka 6 möjliga svar du menar.

Väljer man a) så är även b) korrekt och samma sak med c)och  för b) är det antingen a) eller c). Ja det är ett snabbare sätt att välja.

Yes, bra att du är med på det.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jaha okej ja jag är med på alla punkter så det hade totalt funnits 6 möjliga svar ? 

Jag förstår inte vilka 6 möjliga svar du menar.

Väljer man a) så är även b) korrekt och samma sak med c)och  för b) är det antingen a) eller c). Ja det är ett snabbare sätt att välja.

Yes, bra att du är med på det.

Du säger att a) har 2 möjliga svar b) 2 möjliga svar och c) 2 möjliga svar. Totalt är det 6 möjliga svar , det är det jag menar.

OK, då förstår jag vad du menar.

Om vi tänker så så finns det endast tre möjligheter:

1. Både (a) och (b) ör rätt svar.
2. Både (c) och (b) är rätt svar
3. Endast (d) är rätt svar

Eftersom uppgiften endast kan ha ett rätt svar så måste det vara det sistnämnda.

Yngve skrev:

OK, då förstår jag vad du menar.

Om vi tänker så så finns det endast tre möjligheter:

1. Både (a) och (b) ör rätt svar.
2. Både (c) och (b) är rätt svar
3. Endast (d) är rätt svar

Eftersom uppgiften endast kan ha ett rätt svar så måste det vara det sistnämnda.

Aa precis det är sant. Så om b) är rätt så är det antingen a) eller c) som är rätt? Om b) är rätt så kan ej a) och b) vara rätt samtidigt?

Ja, exakt så.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

jag förstår ej. Kan man ej bara tänka att a) är ej korrekt detsamma för b) och c) ? b) är ej ens korrekt för det står a skilt från 0 så den tittar vi ej ens på. Det skulle vara en annan sak om det stod a=0 på b) alternativet. Jag brukar bara tänka att a) gäller ej  och c gäller ej heller enligt villkoret med ändligt många positiva heltalslösningar som uppgiften säger. Det är i alla fall så jag brukar tänka.

D4NIELs metod är den enklaste och snabbaste hittills.

Den tar en genväg förbi den krångliga grunden om olikheten och ändligt antal positiva heltalsrötter och tar istället direkt sikte på regelverket kring själva provet, nämligen att det endast ska vara ett möjligt svar på uppgiften.

Jag försöker förklara:

• Är du med på att om alternativ (a) vore korrekt (dvs om a > 0) så skulle även alternativ (b) vara korrekt, eftersom a > 0 medför att a $\neq$ 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?
• Är du med på att om alternativ (c) vore korrekt (dvs om a < 0) så skulle även alternativ (b) vara korrekt, eftersom a < 0 medför att a $\neq$ 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?
• Är du med på att om alternativ (b) vore korrekt (dvs om a $\neq$ 0) så skulle även antingen alternativ (a) eller alternativ (c) vara korrekt, eftersom a $\neq$ 0 medför antingen att a > 0 eller att a < 0? Och att det i så fall finns två möjliga svar?

Alltså kan svaret varken vara (a), (b) eller (c).

Tror inte att detta stämmer generellt för alternativ (b) om man bortser från den specifika informationen man fick i denna fråga (att ax² + bx + c > 0 har ändligt många positiva heltalslösningar). Frågan är vilken slutsats man kan dra ur informationen man fick. Det är sant att (b) medför (a) eller (c), men eftersom du inte vet vilken av dem så kan du inte dra varken slutsats (a) eller (c). Det vill säga (b) ⇏ (a), och (b) ⇏ (c) och därmed finns det ingen anledning att (b) inte kan vara rätt svar (om man betraktar enbart svarsalternativen på detta sätt utan att fundera på den faktiska frågan i uppgiften).

Om du exempelvis vet att x² > 0 så kan du dra slutsatsen att x ≠ 0, men varken att x > 0 eller x < 0.

Jag blev ombedd att utveckla.

Som andra påpekat kan omäjligen (a) eller (c) vara det enda rätta svaret. För om man vet att a > 0 vet man ju även att a ≠ 0, och analogt om man vet att a < 0 vet man ju att a ≠ 0. I andra ord: (a) medför (b), och (c) medför (b), så därför kan inte svaret vara (a) eller (c), för då hade även (b) varit rätt svar. Är du med på den här första delen?

Det hävdades dock även att (b) inte heller kan vara rätt svar eftersom då antingen (a) eller (c) också skulle vara rätt. Eftersom om a ≠ 0 så är ju antingen a > 0 eller a < 0. Det stämmer alltså att om (b) är sant så är antingen (a) eller (c) sant, men du vet inte vilken av dem. Därmed medför (b) varken (a) eller (c), och det blir ingen motsägelse där flera alternativ blir korrekta.

Tänk på exemplet jag skrev: om jag tänker på ett tal a och säger att a^2 ≠ 0, vilken slutsats kan du dra? Du vet att a ≠ 0, men du kan inte veta om a > 0 eller a < 0, även fast det måste vara någon av dem. Alltså är den enda slutsatsen du kan dra (av de tre alternativen som gavs) att a ≠ 0.

rator skrev:

Jag blev ombedd att utveckla.

Som andra påpekat kan omäjligen (a) eller (c) vara det enda rätta svaret. För om man vet att a > 0 vet man ju även att a ≠ 0, och analogt om man vet att a < 0 vet man ju att a ≠ 0. I andra ord: (a) medför (b), och (c) medför (b), så därför kan inte svaret vara (a) eller (c), för då hade även (b) varit rätt svar. Är du med på den här första delen?

Det hävdades dock även att (b) inte heller kan vara rätt svar eftersom då antingen (a) eller (c) också skulle vara rätt. Eftersom om a ≠ 0 så är ju antingen a > 0 eller a < 0. Det stämmer alltså att om (b) är sant så är antingen (a) eller (c) sant, men du vet inte vilken av dem. Därmed medför (b) varken (a) eller (c), och det blir ingen motsägelse där flera alternativ blir korrekta.

Tänk på exemplet jag skrev: om jag tänker på ett tal a och säger att a^2 ≠ 0, vilken slutsats kan du dra? Du vet att a ≠ 0, men du kan inte veta om a > 0 eller a < 0, även fast det måste vara någon av dem. Alltså är den enda slutsatsen du kan dra (av de tre alternativen som gavs) att a ≠ 0.

Jag hänger ej med på ditt exempel riktigt längre ner att a^2  är skilt från 0.  Om det är skilt från 0 så finns det väl inget sådant att a>0 eller a<0? Jag vet ej hur man kommer på det. 

Jag hänger med på din första del. Lite svårt att tolka mitten texten du skrev dock. 

rator skrev:

Jag blev ombedd att utveckla.

Som andra påpekat kan omäjligen (a) eller (c) vara det enda rätta svaret. För om man vet att a > 0 vet man ju även att a ≠ 0, och analogt om man vet att a < 0 vet man ju att a ≠ 0. I andra ord: (a) medför (b), och (c) medför (b), så därför kan inte svaret vara (a) eller (c), för då hade även (b) varit rätt svar. Är du med på den här första delen?

Det hävdades dock även att (b) inte heller kan vara rätt svar eftersom då antingen (a) eller (c) också skulle vara rätt. Eftersom om a ≠ 0 så är ju antingen a > 0 eller a < 0. Det stämmer alltså att om (b) är sant så är antingen (a) eller (c) sant, men du vet inte vilken av dem. Därmed medför (b) varken (a) eller (c), och det blir ingen motsägelse där flera alternativ blir korrekta.

Tänk på exemplet jag skrev: om jag tänker på ett tal a och säger att a^2 ≠ 0, vilken slutsats kan du dra? Du vet att a ≠ 0, men du kan inte veta om a > 0 eller a < 0, även fast det måste vara någon av dem. Alltså är den enda slutsatsen du kan dra (av de tre alternativen som gavs) att a ≠ 0.

Aa nu är jag med på första delen.

rator skrev:

Tror inte att detta stämmer generellt för alternativ (b) om man bortser från den specifika informationen man fick i denna fråga (att ax² + bx + c > 0 har ändligt många positiva heltalslösningar).

Det är korrekt.