MaFy-provet 2017. Fråga 16 - Vilket tal är störst/minst?

(EDIT: Enklare lösning in andra inlägget)

Eftersom båda uttrycken involverar 3:e-rötter och därtill att vänstra uttrycket vore ett heltal om det upphöjdes till 3 så är min första impuls att undersöka $A^3$ och $B^3$

Det inses enkelt att

$A^3 = 27\cdot 2 = 54$

och med kubregeln att 

$B^3 = 1 + 6 \cdot 3^{1/3} + 12 \cdot 3^{2/3} + 24$

Okej det är inte helt klart från detta vilket av $A^3, B^3$ menkan göra två uppskattningar av 3-potesenerna som exponserar det

$3^{1/3} > 1$ naturligtvis och vidare kan vi göra stegen

$x = 3^{2/3}$

$x^3 = 9$

och jämföra med

$2^3 < 9 = x^3$

för att säga att

$3^{2/3}>2$

Låt oss injicera detta i uttrycket för $B^3$

$B^3 = 1 + 6 \cdot 3^{1/3} + 12 \cdot 3^{2/3} + 24 > 1 + 6 + 12 \cdot 2 + 24 = 55$

Därmed

$B^3 > A^3$

och alltså

$B>A$

Inte det met systematiska men kändes någorlunda spontant att angripa på det sättet. Tillägger kanske någon annan metod senare.

EDIT: Nevermind. Mitt argument höll inte

 Min ansats var att betrakta

$x = B - A = 1 + 2\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{2}$

och göra omskrivningen $3 = (\sqrt[3]{3})^3$ och $2 = (\sqrt[3]{2})^3$ och faktorisera ut $\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3}$ enligt

$x = 1 + (\sqrt[3]{2})^3 \sqrt[3]{3} -(\sqrt[3]{3})^3 \sqrt[3]{2}= 1 +\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3}((\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[3]{3})^2 ) = 1 +\sqrt[3]{6}((\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[3]{3})^2 )$

Men detta gav inte det jag hade hoppats på så har ingen andra lösning än. 

Tack SeriousCephalopod! Det var en metod jag ej skulke kommit på själv, fungerar ju helt klart. Min förväntan var att det skulle gå att möblera talen till något väldigt lätt att urskilja. Men det kanske inte är möjligt i det här fallet