MaFy-provet 2024 – uppgift 14

Lösningsförslag till fråga 14 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om $\sin\alpha>0$ och $\tan\alpha=p$, så gäller att $\cos\alpha$ är lika med

(a) $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

(b) $\frac{\left|p\right|}{\sqrt{1+p^2}}$

(c) $\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Börja med att skriva om tangensuttrycket till $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=p$ ($\cos\alpha\neq0$). Förlängning med $\cos\alpha$ ger likheten $\sin\alpha=p\cdot\cos\alpha$. Detta kan sättas in i formeln för trigonometriska ettan ($(\sin x)^2+(\cos x)^2=1$):

$(p\cos\alpha)^2+(\cos\alpha)^2=1$

$(\cos\alpha)^2(p^2+1)=1$

$(\cos\alpha)^2=\frac{1}{p^2+1}$

Vilket tecken har då $\cos\alpha$? Rita upp enhetscirkeln och markera var $\sin\alpha$ är positivt:

$\sin\alpha$ är positivt då vinkeln är mellan 0 och $\pi$. I detta intervall kan $\cos\alpha$ anta både värdet $-\frac{1}{p^2+1}$ och $\frac{1}{p^2+1}$, beroende på vilken kvadrant vinkeln hamnar i. Inget av svarsalternativen gäller därför generellt.

Svar: (d), inget av (a) till (c) gäller generellt.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.