MaFy-provet 2024 – uppgift 15

Lösningsförslag till fråga 15 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om $\cos\alpha>0$ och $\tan\alpha=p$ , så gäller att $\sin\alpha$ är lika med

(a) $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

(b) $\frac{\left|p\right|}{\sqrt{1+p^2}}$

(c) $\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Lösningen av denna uppgift är snarlik lösningen av uppgift 14.

Börja med att skriva om tangensuttrycket till $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=p$ ( $\cos\alpha\neq0$ ). Lös ut $\cos\alpha$ för att få likheten $\frac{\sin\alpha}{p}=\cos\alpha$ . Detta kan sättas in i formeln för trigonometriska ettan ( $(\sin x)^2+(\cos x)^2=1$ ):

$\left(\frac{\sin\alpha}p\right)^2+(\sin\alpha)^2=1$

$(\sin\alpha{)^2\left(\frac{p^2+1}p^2\right)}=1$

$(\sin\alpha)^2=\frac{p^2}{p^2+1}$

Värdet av $\sin\alpha$ är alltså $\frac p{\sqrt{p^2+1}}$ , men är värdet positivt eller negativt? Cosinus är positiv i nedanstående intervall:

Vi vill alltså att vårt uttryck ska vara negativt om $\alpha$ ligger i den fjärde kvadranten, och positivt om $\alpha$ ligger i första kvadranten.

Nämnaren i vårt uttryck, $\sqrt{p^2+1}$ , är alltid positiv, så $\frac p{\sqrt{p^2+1}}$ har samma tecken som p. Om $\alpha$ ligger i den fjärde kvadranten är p negativt, och om $\alpha$ ligger i första kvadranten är p positivt, vilket är precis samma tecken som sinus har. Därför kan vi dra slutsatsen att $\sin\alpha=\frac p{\sqrt{1+p^2}}$ .

Svar: (a), $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.

Tack så mycket! Det var exakt det här jag letade ett bra tag idag...började nästan tro att ingen hade lagt upp lösningarna offentligt.

Vad roligt att höra! Jag vet inte om det finns offentligt upplagda lösningar till alla prov. Kanske någonstans djupt dolt bland internets alla sidor? :)

Smutstvätt skrev:
Jag vet inte om det finns offentligt upplagda lösningar till alla prov.

Facit finns väl på MaFy-sidorna på Chalmers.

Sedan kan man komma dit på olika sätt. Till exempel kan man här snabbt testa fallet med $\tan \alpha = 0$ , att det inte stämmer med valmöjlighet (c), gissa att det då nog blir (a) eller (b). Och då kolla tecken för fjärde kvadranten.

För säkerhets skull kan man också snabbt kolla att värdet stämmer för $p=\pm 1 \ (\alpha = \pm 45^\circ)$ och för gränsvärden $p= \pm \infty \ (\alpha = \pm 90^\circ)$ .

Facit finns ja, men lösningsförslag/förklaringar (för allt utom C-uppgiften) är inte lika lätta att få tag på. Åtminstone var de inte det för ett år sedan, när jag kikade. Det kanske är annorlunda nu. :)

Jag har ingen insider information men jag tror att tanken är att de vill selektera för studenter som löser uppgifterna snabbt och på ett ganska intuitivt sätt, i huvudet, utan att de behöver lägga tid på att skriva ner manipulationer av ekvationer.

Det är tydligt vid fysikdelen. Där får man inte använda miniräknare, så kandidaten ska välja bland svarsalternativen utan att traggla med decimaler.

Jag har precis lika lite insyn som du, men utifrån att ha löst en del uppgifter drar jag slutsatsen att en del uppgifter går att lösa genom intuition och testfall, men inte alla. En del uppgifter måste lösas med ekvationstraggel. :)

Med min erfarenhet av MaFy-fysik tror jag att alla dessa flervalsuppgifter har ett snabbt svar.

Så min strategi också i matte-delen (där jag skulle ha mycket svårare) skulle vara att först göra alla frågor där jag kunde välja rätt svar snabbt. Sedan titta lite längre på de andra uppgifterna om man i alla fall inte kunde utesluta några alternativ, kanske skissa lite. Och bara välja ekvationstraggel som sista utväg.

Visst skulle ett svarsalternativ även ha varit $+ - \frac{p}{\sqrt{1 + p^{2}}}$

Nej, tyvärr. ±-alternativen är sällan rätt på denna typ av uppgifter, så om man behöver chansa (exempelvis för att tiden tar slut) är det ett alternativ man bör undvika. Det beror på att ett uttryck endast kan ha ett värde. $\sqrt{4}$ är definierat som 2. Inte -2, inte ±2, utan 2. Ett tal, och ett uttryck, kan bara ha ett enda värde. Däremot (!) kan en ekvation ha flera lösningar – exempelvis har ekvationen $x^{2} = 4$ två lösningar (x = -2 och x = 2).

Eftersom att varje uttryck endast kan ha ett värde, kan $\sin (α)$ endast vara lika med $\pm \frac{p}{\sqrt{1 + p^{2}}}$ , om $+ \frac{p}{\sqrt{1 + p^{2}}}$ och $- \frac{p}{\sqrt{1 + p^{2}}}$ har samma värde. Det sker om $\frac{p}{\sqrt{1 + p^{2}}} = 0$ , och inte annars.

Kort sagt: Så länge värdet inte säkert är noll, är ±-alternativen aldrig rätt, eftersom att ett uttryck endast kan ha ett enda värde.

Svara

Visa senaste svar