0 svar
9 visningar
Smutstvätt är nöjd med hjälpen
Smutstvätt 24577 – Moderator
Postad: 23 jun 18:33 Redigerad: 25 jun 20:40

MaFy-provet 2024 – uppgift 23

Lösningsförslag till fråga 23 från Matematik- och fysikprovet 2024.

 

Givet funktionen f(x)=ln1-x21+x2f(x)=\ln\frac{1-x^2}{1+x^2}, beräkna f'(x)f'(x) och ange f'-12f'\left(-\frac12\right).

 

Funktionen ff är en sammansatt funktion på formen fgh(x)j(x)f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right), där:

fgh(x)j(x)f(x)=lnxg(x)=h(x)j(x)h(x)=1-x2j(x)=1+x2f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\\\left\{\begin{array}{l}f(x)=\ln\left(x\right)\g(x)=\frac{h(x)}{j(x)}\h(x)=1-x^2\j(x)=1+x^2\end{array}\right.

Funktionernas derivator är:

fgh(x)j(x)f'(x)=1xg'(x)=h'(x)j(x)-h(x)j'(x)j(x)2=-2x(1-x2)-2x(1+x2)(1+x2)2=4x(1+x2)2h'(x)=-2xj(x)=2xf\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\\\left\{\begin{array}{l}f'(x)=\frac1x\g'(x)=\frac{h'(x)j(x)-h(x)j'(x)}{j{(x)}^2}=\frac{-2x(1-x^2)-2x(1+x^2)}{{(1+x^2)}^2}=\frac{4x}{{(1+x^2)}^2}\h'(x)=-2x\j(x)=2x\end{array}\right.

Dessa derivator kan vi nu använda när vi deriverar ff med hjälp av kedjeregeln. Kedjeregeln säger att p(q(x))=p'(q(x))·q'(x)p(q(x))=p'(q(x))\cdot q'(x).

Derivatan av ff är därför Dfgh(x)j(x)=f'(g(x))·g'(x) D\left(f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\right)=f'(g(x))\cdot g'(x). Inrederivatan av g(x)g(x) är redan inbakad i vår beräkning av g'(x)g'(x). Allt detta sammansatt ger:

Dfgh(x)j(x)=11-x21+x2·-4x1+x22=-4x1-x21+x2D\left(f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\right)=\frac1{\left({\displaystyle\frac{1-x^2}{1+x^2}}\right)}\cdot\frac{-4x}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{-4x}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}

och att f'-12=-4·-121--1221+-122=234·54=21516=3215f'\left(-\frac12\right)=\frac{-4\cdot-{\displaystyle\frac12}}{\left(1-\left(-{\displaystyle\frac12}\right)^2\right)\left(1+\left(-{\displaystyle\frac12}\right)^2\right)}=\frac2{{\displaystyle\frac34}\cdot{\displaystyle\frac54}}=\frac2{\left({\displaystyle\frac{15}{16}}\right)}=\frac{32}{15}\

 

Svar: 3215\frac{32}{15}.

 


 

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.

Svara Avbryt
Close