MaFy-provet 2024 – uppgift 23

Lösningsförslag till fråga 23 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Givet funktionen $f(x)=\ln\frac{1-x^2}{1+x^2}$, beräkna $f'(x)$ och ange $f'\left(-\frac12\right)$.

Funktionen $f$ är en sammansatt funktion på formen $f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)$, där:

$f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\\\left\{\begin{array}{l}f(x)=\ln\left(x\right)\g(x)=\frac{h(x)}{j(x)}\h(x)=1-x^2\j(x)=1+x^2\end{array}\right.$

Funktionernas derivator är:

$f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\\\left\{\begin{array}{l}f'(x)=\frac1x\g'(x)=\frac{h'(x)j(x)-h(x)j'(x)}{j{(x)}^2}=\frac{-2x(1-x^2)-2x(1+x^2)}{{(1+x^2)}^2}=\frac{4x}{{(1+x^2)}^2}\h'(x)=-2x\j(x)=2x\end{array}\right.$

Dessa derivator kan vi nu använda när vi deriverar $f$ med hjälp av kedjeregeln. Kedjeregeln säger att $p(q(x))=p'(q(x))\cdot q'(x)$.

Derivatan av $f$ är därför $D\left(f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\right)=f'(g(x))\cdot g'(x)$. Inrederivatan av $g(x)$ är redan inbakad i vår beräkning av $g'(x)$. Allt detta sammansatt ger:

$D\left(f\left(g\left(\frac{h(x)}{j(x)}\right)\right)\right)=\frac1{\left({\displaystyle\frac{1-x^2}{1+x^2}}\right)}\cdot\frac{-4x}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{-4x}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}$

och att $f'\left(-\frac12\right)=\frac{-4\cdot-{\displaystyle\frac12}}{\left(1-\left(-{\displaystyle\frac12}\right)^2\right)\left(1+\left(-{\displaystyle\frac12}\right)^2\right)}=\frac2{{\displaystyle\frac34}\cdot{\displaystyle\frac54}}=\frac2{\left({\displaystyle\frac{15}{16}}\right)}=\frac{32}{15}\$

Svar: $\frac{32}{15}$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.