0 svar
13 visningar
Smutstvätt är nöjd med hjälpen
Smutstvätt 24544 – Moderator
Postad: 23 jun 18:33 Redigerad: 25 jun 20:41

MaFy-provet 2024 – uppgift 25

Lösningsförslag till fråga 25 från Matematik- och fysikprovet 2024.

 

En geometrisk talföljd har kvoten q. Bestäm de värden q kan ha givet att det andra elementet i följden är 1 och summan av de fyra första elementen i följden är 4. Ange summan av dessa värden.

 

Den andra termen i följden är 1, och kvoten är q. Därmed kan de första fyra elementen i talföljden skrivas som:

1q, 1, q, q2\frac1q,\;1,\;q,\;q^2

Summaformeln för en geometrisk summa är Sgeo=akn-1k-1S_{\mathrm{geo}}=\frac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}. Vårt a är 1q\frac{1}{q}, k är 1, och n är 4.

Det ger ekvationen 1qq4-1q-1=4\frac{{\displaystyle\frac1q}\left(q^4-1\right)}{q-1}=4.

1qq4-1q-1=4q4-1q-1=4qq2+1q2-1q-1=4qq2+1q+1q-1q-1=4qq2+1q+1=4qq3+q2-3q+1=0\frac{{\displaystyle\frac1q}\left(q^4-1\right)}{q-1}=4\\\frac{\displaystyle\left(q^4-1\right)}{q-1}=4q\\\frac{\displaystyle\left(q^2+1\right)\left(q^2-1\right)}{q-1}=4q\\\frac{\displaystyle\left(q^2+1\right)\left(q+1\right)\left(q-1\right)}{q-1}=4q\\\left(q^2+1\right)\left(q+1\right)=4q\\q^3+q^2-3q+1=0

Denna ekvation kan lösas genom att gissa en rot – test med värdena 1 och -1 på q ger att q=1q=1 är en rot. Polynomdivision ger då att ekvationen kan skrivas som (q-1)(q2+2q-1)=0(q-1)(q^2+2q-1)=0.

Det finns alltså tre möjliga värden på q:

q1=-1-2q2=1q3=-1+2\left\{\begin{array}{l}q_1=-1-\sqrt2\q_2=1\q_3=-1+\sqrt2\end{array}\right.

Vilka summerar till -1-1.

 

Svar: -1-1.

 


 

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.

Svara Avbryt
Close