0 svar
9 visningar
Smutstvätt är nöjd med hjälpen
Smutstvätt Online 24553 – Moderator
Postad: 23 jun 18:33 Redigerad: 25 jun 20:41

MaFy-provet 2024 – uppgift 26

Lösningsförslag till fråga 26 från Matematik- och fysikprovet 2024.

 

Lös ekvationen

1+tan2x1-tan2x=4sin2x\frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}=4\sin2x

Ange summan av de två minsta positiva lösningarna.

 

Tangensfunktionen kan skrivas som sinusfunktionen dividerad med cosinusfunktionen. Det ger ekvationen:

1+tan2x1-tan2x=4sin2x1+sin2xcos2x1-sin2xcos2x=4sin2xcos2x+sin2xcos2xcos2x-sin2xcos2x=4sin2x1cos2xcos2x-sin2xcos2x=4sin2x1cos2x-sin2x=4sin2x\frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}=4\sin2x\\\frac{1+{\displaystyle\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}}{1-{\displaystyle\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}}=4\sin2x\\\frac{\displaystyle\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}{\displaystyle\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}=4\sin2x\\\frac{\displaystyle\frac1{\cos^2x}}{\displaystyle\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}=4\sin2x\\\frac1{\cos^2x-\sin^2x}=4\sin2x

Nämnaren i vänsterledet kan förenklas till cos2x\cos2x, i enlighet med reglerna för dubbla vinkeln för cosinus. Då kan ekvationen fortsätta lösas som:

1cos2x-sin2x=4sin2x1cos2x=4sin2x1=4sin2x·cos2x\frac1{\cos^2x-\sin^2x}=4\sin2x\\\frac1{\cos2x}=4\sin2x\\1=4\sin2x\cdot\cos2x

(givet att cos2x inte blir noll)

Här kan dubbla vinkeln för sinus användas för att skriva ihop högerledet:

1=4sin2x·cos2x1=2·sin4x12=sin4x(1): 4x=π6+n·2π(2):  4x=5π6+n·2π=(1): x=π24+n·π2(2):  x=5π24+n·π21=4\sin2x\cdot\cos2x\\1=2\cdot\sin4x\\\frac12=\sin4x\\\left\{\begin{array}{l}(1):\;4x=\frac{\mathrm\pi}6+n\cdot2\mathrm\pi\(2):\;\;4x=\frac{5\mathrm\pi}6+n\cdot2\mathrm\pi\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}(1):\;x=\frac{\mathrm\pi}{24}+n\cdot\frac{\mathrm\pi}2\(2):\;\;x=\frac{5\mathrm\pi}{24}+n\cdot\frac{\mathrm\pi}2\end{array}\right.

 

De två minsta positiva lösningarna är alltså π24\frac{\mathrm\pi}{24} och 5π24\frac{5\mathrm\pi}{24}, som summerar till π4\frac{\mathrm\pi}{4}.

 

Svar: π4\frac{\mathrm\pi}{4}.

 


 

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.

Svara Avbryt
Close