MaFy-provet 2024 – uppgift 8

Lösningsförslag till fråga 8 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Givet är ekvationen $az^2 + bz + c = 0$, där $abc\neq0$. Två av de tre koe􏰂cienterna $a$, $b$, $c$ är reella och en är icke-reell. Då kan man dra slutsatsen att ekvationen inte är ekvivalent med någon ekvation $Az^2 + Bz + C = 0$, där

(a) alla tre koe􏰂cienterna är reella;

(b) alla tre koe􏰂cienterna är icke-reella;

(c) en koe􏰂cient är reell och två av koe􏰂cienterna är icke-reella;

(d) inget av (a)-(c), den kan vara ekvivalent med ekvationer av alla tre typerna.

Om $az^2 + bz + c = 0$ ska vara ekvivalent med ekvationen $Az^2 + Bz + C = 0$, behöver vi hitta ett tal p, sådant att: 

$\left\{\begin{array}{l}p·a=A\\ p·b=B\\ p·c=C\end{array}\right.$

Där två av a, b och c är reella, och den tredje är icke-reell. Uppgiften vill att vi tar reda på vilket av svarsalternativen som inte stämmer.

Viktigt att notera är följande regler kring multiplikation av reella och icke-reella tal: 

1. Produkten av två reella tal är alltid reell
2. Produkten av ett reellt tal och ett icke-reellt tal är alltid icke-reell
3. Produkten av två icke-reella tal kan vara reell eller icke-reell, beroende på faktorerna

(a): Kan vi hitta ett tal p, reellt eller icke-reellt, sådant att ekvationssystemet är uppfyllt för reella värden på A,B och C? 

• Om p är ett reellt tal, kommer det inte att förändra vilka tal som är reella och vilket som är icke-reellt. 
• Om p är ett icke-reellt tal, kommer de två reella koefficienterna (två utav a, b och c) att bilda icke-reella produkter. Produkten av p och det icke-reella talet kan bli reell (exempelvis om p är konjugatet till den icke-reella koefficienten), eller icke-reell.

Oavsett om p är reellt eller icke-reellt, kommer minst en av koefficienterna vara icke-reell, (a) är alltså inte möjligt, och vi har vårt svar. 

För att gå igenom alla alternativ, låt oss titta på (b) och (c) också. 

(b): Det är möjligt att hitta ett tal p, sådant att alla tre produkter blir icke-reella. De flesta icke-reella värden på p kommer att resultera i tre icke-reella produkter.

(c):  Om p sätts till konjugatet av den icke-reella koefficienten, kommer vi att få två icke-reella produkter (på grund av regel 2 ovan) och en reell koefficient (produkten av ett icke-reellt tal och dess konjugat ger ett reellt tal). 

Svar: (a), alla tre koefficienterna är reella.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.