MaFy 2008 uppgift 20

Det står ingenstans att 2,5km är utmed en gata utan det är fågelvägen. Om A och B ligger på samma gata blir avståndet 2,5km men annars blir det längre.  Ett bidrag till svaret får man om man försöker plcera A och B i gatunätet så att gångavståndet blir så långt som möjligt.

farfarMats skrev:

Det står ingenstans att 2,5km är utmed en gata utan det är fågelvägen. Om A och B ligger på samma gata blir avståndet 2,5km men annars blir det längre.  Ett bidrag till svaret får man om man försöker plcera A och B i gatunätet så att gångavståndet blir så långt som möjligt.

Nu hänger jag ej med här. Är det B som är fågelvägen eller är det gatuhörn A och B som heter fågelvägen?  Det enda jag förstår ur texten är att A och B ligger ett avstånd ifrån varandra typ horisontellt men eftersom de är gator så måste A och B ligga så att de bildar en hypotenusa,jag kanske är ute och cyklar.. 

AB = 2.5 km är hypotenusans längd. 

Hur lång kan summan av kateternas längder vara då?

Dr. G skrev:

AB = 2.5 km är hypotenusans längd. 

Hur lång kan summan av kateternas längder vara då?

Om de ska bilda ett rätvinklig nät tänker jag mig som bilden nedan. Jag vet dock ej om x och y (kateterna) är samma eller olika.

Då blir det ju x^2+y^2=(2.5)^2

destiny99 skrev:

Då blir det ju x^2+y^2=(2.5)^2

Precis. 

Du söker då det största värdet på x + y, givet att x² + y² = 2.5².

Dr. G skrev:

destiny99 skrev:

Då blir det ju x^2+y^2=(2.5)^2

Precis. 

Du söker då det största värdet på x + y, givet att x² + y² = 2.5².

Ja hur hittar man största värdet av två variabler då? Om man drar roten ur båda led får vi sqrt(x^2+y^2)=2.5

Lös ut y(x) från x² + y² = 2.5² och derivera x + y(x).

(Man kan även använda sig av symmetrin och lösa uppgiften på ett enklare sätt.)

Dr. G skrev:

Lös ut y(x) från x² + y² = 2.5² och derivera x + y(x).

(Man kan även använda sig av symmetrin och lösa uppgiften på ett enklare sätt.)

Jag ser ej vad för symmetri vi kan använda här? Avståndet till B som även är x verkar ej vara lika stor som avståndet till A ( y-kateten). 

Då kan du derivera, så kan vi ta symmetrin senare. 

Dr. G skrev:

Då kan du derivera, så kan vi ta symmetrin senare. 

Detta är vad jag fått. Största värdet är y=2.5 cm

Ja, men du vill ha största värdet på 

s(x) = x + y(x)

(d.v.s sträckan man måste gå i x-led plus sträckan man måste gå i y-led. Den sträckan blir som minst 2.5 km och som mest ... km.)

Dr. G skrev:

Ja, men du vill ha största värdet på 

s(x) = x + y(x)

(d.v.s sträckan man måste gå i x-led plus sträckan man måste gå i y-led. Den sträckan blir som minst 2.5 km och som mest ... km.)

Jag förstår ej nu. Vad var poängen med deriveringen? Jag blev ombadd att lösa ut y och derivera som funktion y(x). 

Se #8, derivera

x + y(x)

(med avseende på x.)

x + y är den totala sträckan, som du vill maximera. Du har maximum när

1 + y'(x) = 0

Dr. G skrev:

Se #8, derivera

x + y(x)

(med avseende på x.)

x + y är den totala sträckan, som du vill maximera. Du har maximum när

1 + y'(x) = 0

fast vi har x^2+y^2=2.5^2. Jag vet ej vad y(x) är. Menar du att vi ska derivera x+sqrt(2.5^2-x^2)?

destiny99 skrev:

fast vi har x^2+y^2=2.5^2. Jag vet ej vad y(x) är. Menar du att vi ska derivera x+sqrt(2.5^2-x^2)?

Ja, precis

Dr. G skrev:

destiny99 skrev:

fast vi har x^2+y^2=2.5^2. Jag vet ej vad y(x) är. Menar du att vi ska derivera x+sqrt(2.5^2-x^2)?

Ja, precis

Vi får svaret ungefär till 3 under roten ur när vi ska beräkna s(x). Rätt svar är c).

När man gör MaFy-provet så förväntas man nog veta att det är i "en halv kvadrat" som hypotenusan är som kortast jämfört med summan av kateterna. Om sidan i en halv kvadrat är 1 så är hypotenusan $\sqrt{2}$. Om hypotenusan är 1 så är vardera sidan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ så summan av de båda sidorna är $\sqrt{2}$. Om man multiplicerar detta med att hypotenusan är 2,5 km får man att "worst case" är ...

Smaragdalena skrev:

När man gör MaFy-provet så förväntas man nog veta att det är i "en halv kvadrat" som hypotenusan är som kortast jämfört med summan av kateterna. Om sidan i en halv kvadrat är 1 så är hypotenusan $\sqrt{2}$. Om hypotenusan är 1 så är vardera sidan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ så summan av de båda sidorna är $\sqrt{2}$. Om man multiplicerar detta med att hypotenusan är 2,5 km får man att "worst case" är ...

Så för att vi ska komma upp till hypotenusan 2.5 så måste y kateten vara också 2,5/sqrt(2)?