Magnitud och argument till en överföringsfunktion

Hej! Jag har suttit med en uppgift i signalbehandling som har varit lite knepig. Det landar i att jag från

$H (ω) = \frac{1}{4} (1 + e^{- j ω} + e^{- 2 j ω} + e^{- 3 j ω})$ ska plocka ut en amplitud- och fasfunktion.
vilket jag läser som $| H (ω) |$ och $a r g H (ω)$ (det står även så i facit).

Jag får inte rätt på det dock!

Jag skrev om funktionen:
$H (ω) = \frac{1}{4} (1 + \cos ω - j \sin ω + \cos (2 ω) - j \sin (2 ω) + \cos (3 ω) - j \sin (3 ω) H (ω) = \frac{1}{4} ((1 + \cos ω + \cos (2 ω) + \cos (3 ω)) - j (\sin ω + \sin (2 ω) + \sin (3 ω))$

Min tanke var att $|H (ω)| = \sqrt{r e a l d e l^{2} + i m a g i n ä r d e l^{2}}$

Sedan $a r g H (ω) = a r c \tan (\frac{i m a g i n ä r d e l}{r e a l d e l})$

Men jag får inte rätt på det!

Funktionen känns så klumpig! Det känns som om det är en trigonometrisk omskrivning jag ska göra men jag ser den inte!

Facit anger svaret till:

$| H (ω) | = \frac{1}{4} |\frac{\sin (2 ω)}{\sin (\frac{ω}{2})}| = \frac{1}{2} |\cos (\frac{3}{2} ω) + \cos (\frac{1}{2} ω)| a r g H (ω) = - \frac{3}{2} ω + π$

Jag sitter helt fast. All hjälp och alla tips uppskattas!

Det blir enklare om vi skriver om $1 + e^{-j\omega} + e^{-2j\omega} + e^{-3j\omega} = \frac{1-e^{-4j\omega}}{1-e^{-j\omega}}$ m.h.a. om formeln för en geometrisk summa. Därefter gör vi ett klassiskt trick och faktoriserar ur $e^{-j2\omega}$ från täljaren och $e^{-j\omega/2}$ från täljaren. Då får vi

$\frac{1-e^{-4j\omega}}{1-e^{-j\omega}} = \frac{e^{-j2\omega}}{e^{-j\omega/2}} \frac{e^{j2\omega}-e^{-j2\omega}}{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}} = \frac{e^{-j2\omega}}{e^{-j\omega/2}} \frac{2j\sin(2\omega)}{2j\sin(\omega/2)}$

m.h.a. Eulers formel.

Tack! att skriva det som en geometrisk summa gjorde det hela enklare!
När det kommer till storheten och argumentet jag skrev om funktionen lite:

$\frac{1}{4} (e^{- j \frac{3}{2} ω} \frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)})$

Jag försökte lösa det algebraiskt men det blev mycket termer snabbt.
Skulle man kunna tänka såhär?

När det gäller storheten:

$|e^{- j \frac{3}{2} ω}|$ kommer alltid var 1 eftersom det oavsett omega kommer att ligga på enhetscirkeln.

Jag fick inte rätt på omskrivningen de gjort i facit till $\frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)}$ , men är det så relevant egentligen? Så länge nämnaren inte är noll borde väl $|\frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)}|$ vara lika godtagbart? Jag förstår att omskrivningen gör så att man undviker situationen då nämnaren blir noll.

Argumentet:

$a r g H (ω) = a r g (e^{- j \frac{3}{2} ω}) + a r g (\frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)}) a r g (e^{- j \frac{3}{2} ω}) = - \frac{3}{2} ω$

$\frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)}$ är ett reelt tal så $a r g (\frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)})$ kan bara anta värdet 0 om kvoten positiv och $π$ om kvoten är negativ.

Alltså:

$a r g H (ω) = \{\begin{cases} - \frac{3}{2} ω d å \frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)} > 0 \\ - \frac{3}{2} ω + π d å \frac{\sin (2 ω)}{\sin (ω / 2)} < 0 \end{cases}$

Svara Avbryt