Mängdlära bevisa likhet (Matematik/Universitet)

Börja med att tillämpa definitionen för snitt på $A\cap B$ och definitionen för komplement på $B^\complement$ . Hur ser det ut då?

(X tillhör A och x tillhör B) union (A snitt x tillhör inte B).?

Just det. Och vad blir $A\cap\{x\notin B\}$ ?

Det blir A förstår resonemanget. Tror jag snarare behöver hjälp med hur själva beviset skall se ut. Kan du skriva ner hela beviskedjan?

Jag ser inget annat sätt att göra det på än att steg för steg tillämpa definitionerna och till slut visa att du hamnar i ${x\in A}$ , d.v.s. $A$ .

$\left(A\cap B\right)\cup(A\cap B^\complement)=$ $\{x\in A\ \text{och}\ x\in B\}\cup(A\cap\{x\notin B\})=\{x\in A\ \text{och}\ x\in B\}\cup\{x\in A\ \text{och}\ x\notin B\}=$

$=\{(x\in A\ \text{och}\ x\in B)\ \text{eller}\ (x\in A\ \text{och}\ x\notin B)\}=\{x\in A\}=A$

Är det något annat du tror att uppgiften menar?

Nej, det är nog bara jag som inte förstår hur bevis skall se ut..

Hur skulle du skriva beviset med hjälp utav logiska operatorer?

Om $\Omega$ betecknar utfallsrummet så gäller det att $\Omega=B\cup B^c$ . Då $A$ är en delmängd av $\Omega$ gäller det att $A=A\cap\Omega$ och den önskade satsen följer av distributiva egenskapen hos snitt och union,

Den enda egentliga skillnaden är då att jag skulle byta ut 'och' mot konjunktionsoperatorn ( $\wedge$ ) och 'eller' mot (inklusiva) disjunktionsoperatorn ( $\vee$ ). Det är även möjligt att byta ut $x\notin B$ mot $\neg(x\in B)$ .

Om man skall vara ännu mer formell kan man så klart börja ställa upp sanningsvärdetabeller för det sista logiska uttrycket för att verkligen visa ekvivalensen $(x\in A\wedge x\in B)\vee(x\in A\wedge x\notin B)\Leftrightarrow x\in A$ , men huruvida detta är nödvändigt kan jag inte svara på.

Bevisa följande likheter:

$(A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) D e t a n d r a A : e t ä r d u b b e l k o m p l e m e n t e r a d e H L = x \notin {{x \in A o c h x \in B} e l l e r {x \notin A o c h x \in C} A n v ä n d e r D e M o r g a n s f ö r s t a l a g . . H L = x \in {x \notin A e l l e r x \notin B} o c h {x \in A e l l e r x \notin C} = x \in {x \in A e l l e r x \notin C} V L = x \in {x \in A o c h x \notin B} e l l e r {x \notin A o c h x \notin C} = x \in {x \in A} e l l e r {x \notin A o c h x \notin C} = x \in {x \in A e l l e r x \notin C} V L = H L$

Är detta korrekt? är det någonting jag skriver fel?

Och jag skulle vilja bevisa det mad hjälp av ett Venn-diagram.

Får man använda de distributiva egenskaperna?

Smaragdalena skrev:
Och jag skulle vilja bevisa det mad hjälp av ett Venn-diagram.

Att rita alla möjliga venn-diagram verkar väldigt jobbigt. Att bevisa att man inte missat något diagram likaså.

parveln skrev:
Smaragdalena skrev:
Och jag skulle vilja bevisa det mad hjälp av ett Venn-diagram.
Att rita alla möjliga venn-diagram verkar väldigt jobbigt. Att bevisa att man inte missat något diagram likaså.

Varför skulle man behöva mer än ett Venn-diagram?

A skulle kunna vara en delmängd av B, B en delmängd av A. Snittet skulle kunna vara tomt, kanske A=B. A kanske är tomma mängden osv. Att bara måla två cirklar som skär varandra ger inte någon större beviskraft om det inte följs av ett formellt resonemang. Däremot tycker jag att venn-diagram ett bra sätt att få intution för hur mängder beter sig, och varför en viss identitet skulle vara sann.

parveln skrev:
A skulle kunna vara en delmängd av B, B en delmängd av A. Snittet skulle kunna vara tomt, kanske A=B. A kanske är tomma mängden osv. Att bara måla två cirklar som skär varandra ger inte någon större beviskraft om det inte följs av ett formellt resonemang. Däremot tycker jag att venn-diagram ett bra sätt att få intution för hur mängder beter sig, och varför en viss identitet skulle vara sann.

Du har rätt. Jag hade inte tänkt på all amöjligheter.