MaoFy provet - korrekt räknat? - fråga 16 (2013)

Nej, det är inte korrekt räknat...

$$\begin{gathered} a^x+a^y=a^z\nsim x+y=z \\ Exempel: \\ "2^1+2^2=2^3"\Rightarrow 2+4\ne 8 (6\ne 8). \end{gathered}$$

Det som du försöker göra, gör man endast när baserna multipliceras med varandra, då är det ok. Ex:

$a^x·a^y=a^z:\Rightarrow a^{x+y}=a^z {~}_{exp.} x+y=z;$

Aiyangar skrev :

Nej, det är inte korrekt räknat...

$$\begin{gathered} a^x+a^y=a^z\nsim x+y=z \\ Exempel: \\ "2^1+2^2=2^3"\Rightarrow 2+4\ne 8 (6\ne 8). \end{gathered}$$

Det som du försöker göra, gör man endast när baserna multipliceras med varandra, då är det ok. Ex:

$a^x·a^y=a^z:\Rightarrow a^{x+y}=a^z {~}_{exp.} x+y=z;$

hmm okej, jag vet inte varför jag hade för mig att samma bas medförde att man kunde bortse från dem. Har du ett förslag på lösning?

Jag kan hjälpa dig lite på vägen:

$$\begin{gathered} 2^{2{\sin }^2\left(x\right)}-2^{\cos \left(2x\right)}=-1 \\ {2}^{2{\sin }^2\left(x\right)}-2^{1-2{\sin }^2\left(x\right)}=-1 \\ {2}^{2{\sin }^2\left(x\right)}-\frac{2^1}{2^{2{\sin }^2\left(x\right)}}=-1; \end{gathered}$$

Tar du det härifrån? Du måste göra en substitution alltså.

Skulle inte rekommendera Guggle's metod, då det finns ett korrekt sätt rent uttrycksmässigt att lösa problemet exakt.

Du kan se det såhär

$4^a-2^b+1=0$ där talet a är ett tal mellan 0 och 1 och talet b är ett tal mellan -1 och 1.

Det innebär att $4^a$ är som minst när a=0, talet blir då 1. $2^b$ är som störst då b=1, talet blir då 2. För större värden på $4^a$ eller mindre värden på $2^b$ kan inte ekvationen uppfyllas eftersom $4^a-2^b+1>0$ då.

Alltså är ekvationen sann om och endast om $4^a$ antar sitt minsta tillåtna värde samtidigt som $2^b$ antar sitt största tillåtna värde.

Aiyangar skrev :

Skulle inte rekommendera Guggle's metod, då det finns ett korrekt sätt rent uttrycksmässigt att lösa problemet exakt

Vet inte riktigt vad du menar, min metod är elegant och effektiv, lösningen är matematiskt "exakt" och nås genom huvudräkning. Din metod verkar åas leda till en massa räknearbete vilket inte är så smart på flervalsdelen på antagningsprovet.

Inget illa menat:

"[...] korrekt sätt rent uttrycksmässigt [...]", därav blir det exakt om du löser problemet uttrycksmässigt. Det jag menar på är att det finns ett sätt att förhålla sig till givna trigonometriska uttryck för att lösa problemet, och att det inte är i ett direkt behov av att införa nya variabler.

Självfallet går det på ditt sätt. Men tror inte att problemet ursprungligen är utformat för att lösas på det sättet. Återigen, inget illa menat.

Tack så mycket för era svar, jag har försökt lösa det på båda sätten och jag tror det gick fint!

Gällande Aiyangers metod så gör jag såhär: Jag substituerar nämligen $2^{2{\sin }^{2}x}$ med t, löser andragradaren med pq formeln och får sedan fram att t = 1 eller -2

så då har jag  $2^{2{\sin }^{2}x }= -2 eller 1$

Jag antar att $2^{2{\sin }^{2}x }$ inte kan bli -2

så då får jag detta: $$\begin{gathered} 2{\sin }^{2}x = 0 \\ {\sin }^{2}x = 0 \\ \sin x = 0 \\ x = 0 eller pi (bara pi är en lösning här) \end{gathered}$$

Tack för eran hjälp, bara glad om jag får fler lösningsmetoder, det går kanske att applicera på framtida uppgifter :)

Aiyangar skrev :

Inget illa menat:

"[...] korrekt sätt rent uttrycksmässigt [...]", därav blir det exakt om du löser problemet uttrycksmässigt. Det jag menar på är att det finns ett sätt att förhålla sig till givna trigonometriska uttryck för att lösa problemet, och att det inte är i ett direkt behov av att införa nya variabler.

Självfallet går det på ditt sätt. Men tror inte att problemet ursprungligen är utformat för att lösas på det sättet. Återigen, inget illa menat.

Problemet är utformat just för att man ska kunna använda genvägen med max/minvärden för trigonometriska funktioner.

Det "extra" variablerna är bara till för att förklara hur det fungerar pedagogiskt. Ekvationen som jag hoppas studenten löser i huvudet är $cos(2x)=1$.

Rent allmänt ska flervalsfrågorna på antagningsprovet lösas med huvudräkning, enkla överslag eller kanske några få korta räkningar på ett papper.  Komplicerade räkningar får man skäl att fröjda sig åt senare under provet.

Guggle skrev :

Aiyangar skrev :

Inget illa menat:

"[...] korrekt sätt rent uttrycksmässigt [...]", därav blir det exakt om du löser problemet uttrycksmässigt. Det jag menar på är att det finns ett sätt att förhålla sig till givna trigonometriska uttryck för att lösa problemet, och att det inte är i ett direkt behov av att införa nya variabler.

Självfallet går det på ditt sätt. Men tror inte att problemet ursprungligen är utformat för att lösas på det sättet. Återigen, inget illa menat.

Problemet är utformat just för att man ska kunna använda genvägen med max/minvärden för trigonometriska funktioner.

Det "extra" variablerna är bara till för att förklara hur det fungerar pedagogiskt. Ekvationen som jag hoppas studenten löser i huvudet är $cos(2x)=1$.

Rent allmänt ska flervalsfrågorna på antagningsprovet lösas med huvudräkning, enkla överslag eller kanske några få korta räkningar på ett papper.  Komplicerade räkningar får man skäl att fröjda sig åt senare under provet.

Det här är nog lite Off-topic, men har du själv skrivit provet? Du verkar hajj på det här, ännu mer OT vore om du hade lite tips?! Men tack ändå, Du har hjälpt mig massor(flera uppgifter)!

Nästan rätt! =)        (tänk på tecknen bara!)

$2^{2{\sin }^2\left(x\right)}=1\Rightarrow 2^{2{\sin }^2\left(x\right)}=2^0\iff 2{\sin }^2\left(x\right)=0;$    

 $$\begin{gathered} Eftersom 0<x\le \mathrm{\pi }, \mathrm{gäller} \mathrm{att} \mathrm{x}\ne 0 \\ \mathrm{Därför} \mathrm{måste} \mathrm{lösningen} \mathrm{vara} \mathrm{x}=\mathrm{\pi }, \mathrm{vilket} \mathrm{är} \mathrm{tillåtet} \mathrm{då} \mathrm{\pi } \mathrm{ligger} \mathrm{i} \mathrm{intervallet} \\ (0, \mathrm{\pi }] \end{gathered}$$

hehe du fick visst rätt svar från början, trots lite felaktig användning av exponentlagarna bara! =)

Aiyangar skrev :

Nästan rätt! =)        (tänk på tecknen bara!)

$2^{2{\sin }^2\left(x\right)}=1\Rightarrow 2^{2{\sin }^2\left(x\right)}=2^0\iff 2{\sin }^2\left(x\right)=0;$    

 

 $$\begin{gathered} Eftersom 0<x\le \mathrm{\pi }, \mathrm{gäller} \mathrm{att} \mathrm{x}\ne 0 \\ \mathrm{Därför} \mathrm{måste} \mathrm{lösningen} \mathrm{vara} \mathrm{x}=\mathrm{\pi }, \mathrm{vilket} \mathrm{är} \mathrm{tillåtet} \mathrm{då} \mathrm{\pi } \mathrm{ligger} \mathrm{i} \mathrm{intervallet} \\ (0, \mathrm{\pi }] \end{gathered}$$

 

hehe du fick visst rätt svar från början, trots lite felaktig användning av exponentlagarna bara! =)

Jag tror att jag tänkte rätt bara att jag inte skrev ut allt, så jag tänkte var att då

 $$\begin{gathered} 2^{2{\sin }^{2}x }= 1 \\ så måste 2{\sin }^{2}x = 0 eftersom 2^0=1 \end{gathered}$$

Yes, såg att du korrigerade.

Tackförallahjälp skrev :

Det här är nog lite Off-topic, men har du själv skrivit provet? Du verkar hajj på det här, ännu mer OT vore om du hade lite tips?! Men tack ändå, Du har hjälpt mig massor(flera uppgifter)!

Jag har inte själv skrivit provet, men jag är ibland lite insyltad i det från andra sidan ;)

För just flervalsfrågorna gäller att hitta rätt svarsalternativ, inte nödvändigtvis att lösa uppgiften. I de flesta fall kan flera svarsalternativ uteslutas. På fysikdelen brukar man kunna använda dimensionsanalys och sunt förnuft för att nå rätt. Kan du utesluta 2 av fyra svarsalternativ har du statistiskt sett redan vunnit halva uppgiften.

Om du hamnar i en situation med långa räkningar på en flervalsfråga finns det  nästan garanterat en smartare metod. Hoppa vidare till nästa uppgift och återgå till de långa räkningarna i mån av tid om du inte hittar det "enkla" sättet att lösa uppgiften.

Guggle skrev :

Tackförallahjälp skrev :

Det här är nog lite Off-topic, men har du själv skrivit provet? Du verkar hajj på det här, ännu mer OT vore om du hade lite tips?! Men tack ändå, Du har hjälpt mig massor(flera uppgifter)!

Jag har inte själv skrivit provet, men jag är ibland lite insyltad i det från andra sidan ;)

Hmm förstod nästan det, dina lösningsmetoder har varit väldigt listiga för den här typen av prov! Ser fram emot mer respons, tack och mvh!

Tack återigen såg att du hade redigerat! Jag har snart tragglat mig igenom alla gamla prov-delar och känner igen allt det du skrev, jag håller fullständigt med!