Markering av komplexa tal i talsystemet

Ja, eller |z-(1-2i)| är avståndet 1-2i. Detta ska tydligen vara lika stort som avståndet till 2. Kan du markera detta i det komplexa talplanet på något sätt?

Du kan också börja med att anta

$z=x+y\cdot i$

Varför blir det 1 - 2i istället? Är det för att det är negativ mellan z och uttrycket?

För reella tal a och b gäller att |a-b| kan tolkas som avståndet mellan talen a och b.

I det komplexa fallet gäller det att |z-w| kan tolkas som avståndet mellan de två komplexa talen z och w.

=======

Svar på din fråga: Ja, eftersom -1+2i = -(1+2i).

Det betyder att |z-1+2i| kan skrivas som |z-(1-2i)| och då alltså tolkas som avståndet mellan de två komplexa talen z och 1-2i.

Ok, tack. Så punkten från avståndet från vänstra sidan blir då (1, -2)? Avståndet på högra sidan, görs väl då om till avstånd z till 2 + 0i) med punkten (2,0). Vad gör jag med denna information nu. Är det punkter som kan bli en linje mellan dessa punkter och få fram räta linjens ekvation,  y (im) = kx (re) + m? Kan jag räkna ut k-värdet genom att ta y-värdena delat på x-värdena, så att k blir 2? Kan jag sedan stoppa in ett av koordinaterna i ekvationen och få fram m-värdet?

Ett bra sätt att komma igång med svårare problem är att lösa ett enklare

fall.

Antag att

$\left|x+yi-\left(1-2i\right)\right|=0$

$\left|x+yi-2\right|=0$

Den andra ekvationen ger

$\sqrt{\left(x-2\right){{}^2}+y{{}^2}}=0$

$\left(x-2\right){{}^2}+y{{}^2}=0$

Det motsvarar punkten $(2,0)$.

Den första ekvationen ger

$\sqrt{\left(x-1\right){{}^2}+\left(y-2\right){{}^2}}=0$

$\left(x-1\right){{}^2}+\left(y-2\right){{}^2}=0$

Det motsvarar punkten $(1,2)$

Så enkelt var det inte, men man kan ändra antagandet till

Antag att $t>0$ och

$\left|x+yi-\left(1-2i\right)\right|=t$

$\left|x+yi-2\right|=t$

De här ekvationerna ger då

$\sqrt{\left(x-2\right){{}^2}+y{{}^2}}=t$

$\sqrt{\left(x-1\right){{}^2}+\left(y-2\right){{}^2}}=t$

Kvadreringen ger två ekvationer:

$\left(x-2\right){{}^2}+y{{}^2}=t{{}^2}$

$\left(x-1\right){{}^2}+\left(y-2\right){{}^2}=t{{}^2}$

Det är två ekvationer för två cirklar med mittpunkterna i $(2,0)$

och $(1,2)$ och radien $t$.

I Geogebra kan man rita två cirklar med radien 2 (blå) och 4 (röda) och markera skärningspunkterna mellan dem. Man ser att punkterna kommer att bilda en rät linje (grön).

I den här uppgiften får jag inte ha tillgång till några digitala hjälpmedel utan endast rita på papper i ett koordinatsystem. Så om jag har kommit fram till 2 punkter, hur ska jag veta vad radien till mina cirklar är då i min uppgift? 

KatrinC skrev:

I den här uppgiften får jag inte ha tillgång till några digitala hjälpmedel utan endast rita på papper i ett koordinatsystem. Så om jag har kommit fram till 2 punkter, hur ska jag veta vad radien till mina cirklar är då i min uppgift? 

Du kommer enklare till den räta linjens ekvation på ett annat sätt. Se spoilern längst ner.

Radierna är inte så viktiga - du väljer själv vilka värden du vill arbeta med.

Som #2 säger är det punkterna 1-2i och 2. Givet att den information är rätt i #1.

Jag får följande, inga cirklar behövs,

Se grafen (som Mr P föreslog). Punkterna 1-2i och 2 är markerade. Punkter som ligger på samma avstånd från dem ligger på linjen enligt figur (gamle Euklides) i parameterform Z=1,5-i +t(1 -0,5i)

Behöver inte vara krångligare.

Tack! En liten följdfråga om hur jag kom fram till den gula linjen, som skulle skära den linje jag gjort... Hur kom man fram till -4 + 2x??  jag förstår inte beräkningen där? m-värdet sedan är väl punkten där den nya linjen ska möta y-axeln? Är det fortfarande formeln y =kx + m?

KatrinC skrev:

Tack! En liten följdfråga om hur jag kom fram till den gula linjen, som skulle skära den linje jag gjort... Hur kom man fram till -4 + 2x??  jag förstår inte beräkningen där? m-värdet sedan är väl punkten där den nya linjen ska möta y-axeln? Är det fortfarande formeln y =kx + m?

Vi vet att linjen har k=2 genom att beräkna lutningen m.h.a. de 2 kända punkterna. 

Sedan kan vi ta en av punkterna, säg, (2,0), och beräkna linjens ekvation

y-0=2(x-2)

y=2x-4

Vi är inte så intresserade av vad som händer när linjen möter y-axeln. Du kan rita linjen direkt genom att dra en rät linje genom punkterna. (Jag vet att det är normalt att fokusera på k och m när man ritar en linje, men här har vi redan 2 punkter som linjen skall gå genom så vi gör det lätt för oss och bara drar en linje direkt.)

Ok, tack för hjälpen!